理论力学-动力学课件

10质点动力学第10章质点动力学的基本方程§10-1动力学的基本定律★第一定律（惯性定律）★第二定律（力与加速度之间的关系的定律）★第三定律（作用与反作用定律）Fam将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。)(Fam1.矢量形式22ddrmFt222222dd()d(()d()ddxmXtxxtymYyyttzztymZt式中2.直角坐标形式§10-2质点运动微分方程的形式X=maxY=may3.自然形式),,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。为质点的弧坐标形式的式中bnFFFFtssbn质点运动微分方程还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。222dd0nbsmFtvmFFbnFFvmFdtdvm021.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）§10-3质点动力学两类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。⑤求解未知量。0v桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。例1例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=AB=r.滑块B的运动方程为x=2rcos.如滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0时连杆AB所受的力.OABB解:取滑块B为研究对象.由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力如图。NmgFx=2rcos=tax=-2r2cosmax=-FcosF=-2mr2umgs例：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图、确定坐标系2、建立微分方程3、求解并分析小球运动FngFamm::sinmgml运动微分方程cos2mgFml分析小球的运动（微幅摆动）0singlsin02lg20lg1sin,GdtdvgGFma2cos,2GTlvgGFmann④列出自然形式的质点运动微方程.,,)(cos22为变量其中式得由vglvGTmax,0,1TT时因此重物作减速运动式知由)1(20maxglvGT⑤求解未知量[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。FNa已知：P，。求fmin。解:（1）取物块为研究对象，画受力图PFa（2）研究对象运动分析（3）列方程求解求知量0cossinPFFagPPFFNyxcos),(sinPFgaPFNNFfFtancosmingafyx例题2§11-1动量与冲量质点的动量——质点的质量与质点速度的乘积vpm质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为kg·m/s或N·s1动量质点系的动量——质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主矢。niiim1vp11动量定理m1m2mn根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimimmmmiiiiiCrrriiCmmvvCiimmvvpvCOvCOCC2冲量力在作用时间上的累积效应——力的冲量a.常力tFIb.变力tddFIttd0FI冲量为矢量，其单位与动量单位相同为N·s§11-2动量定理1.质点的动量定理Favpmtmtd)(dddtmd)(ddFvp质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。tdtmm00IFvv在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间内的冲量。2.质点系的动量定理dtdtdtmdiieiiieiii)()()()()()(FFFFvdtdtmdiieiii)()()(FFv(e)idIFpddteieiFtpddtdtd0(e)i0Fppp0)(dtiiF其中：)(0eiIpp或：)()()(///ezzeyyexxFdtdpFdtdpFdtdp微分形式)(0)(0)(0ezzzeyyyexxxIppIppIpp积分形式1.质点的动量矩vrvMmmO)(12.1质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvhyxzMO(mv)=mvh=2△OABMO(mv)定位矢量)()]([vvMmMmzzO12动量矩定理mvrLo2.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2ii)(vrvMLmmiiOO)(iizzmMLv质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。zzOL][LmvrLovirimiyxz22)(iiiiiiiiizzrmrmrvmmMLv令：z2iiJrmOOLJJz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。3.定轴转动刚体对转轴的动量矩2.定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体动量矩计算1.平移刚体CCCiiiiOOvmrvmrvmML)(()iiiiiCCCrmvmrvmrv)(CzzvmML平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。2()zziiiizLMmvmrJ对转轴的动量矩ziMiriivmrmvLco3.平面运动刚体质点系对质心的动量矩iriiCiiiiiCvmrvmrvmrLOxyzx`y`z`CmiviirirCr动坐标为平移坐标系iriiCiivmrvrm)(CririiiriiCCLvmrvmrvrm)(iiiiiCiiiOvmrvmrvmrL质点系对O点的动量矩CCCCiiCLvmrLvmr()zzCCLMmvJ平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩rmvLco平动刚体对转动轴的动量矩ooJL刚体平面运动的动量矩质点的动量矩mvrLoccoJrmvL11222321RRvv1223232222()OJJLmmRvRROOAOBOCL=L+L+L1122222332()JJmvRmvR解：[例1]滑轮A：m1，R1，J1滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2物体C：m3求系统对O轴的动量矩。解:v=rABOOPPLvrvrJgg221,()22OOABPrPJrLPPgg将代入得。例2求系统对O轴的动量矩。例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24cm的均质直杆AB在B处用铰链连接如图.求系统对A点的动量矩。BABC圆盘B平动,杆AB作定轴转动.lvgWJBBA2224.08.915024.08.9360vB1)质点的动量矩定理★质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。4.动量矩定理)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd´´´´´)(FMLOOdtd3.质点系的动量矩定理)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)(eiOdtdFMLO0)()(iiOFM其中：)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)((e)izzMLdtdF★质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。解：取系统为研究对象均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOyWRMoe)(应用动量矩定理)(eOMotdLd)(22RgWJWRaO例题1vRgWJLOORvvRgWRJLOO)(WRdtdvRgWRJO)(均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置，由静止落下。求刚开始落下时杆AB的角加速度及A支座的约束力。1/3ml2AAJLmgcos(l/2)MA应用动量矩定理AMA(F)tdLd03cos2gl解方程得：03cos2gl解方程得：virimiF1F2FnFiyxz)()(izzMJdtdF)(22FzzzzMdtdJdtdJJ★质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。12.2刚体绕定轴的转动微分方程)(FzzΣMJaCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的运动方程已知：m，a，JO。sin22mgadtdJO摆作微小摆动，有：sin022OJmgadtd例题212.3刚体对任意点的转动惯量2mdJCJ0:物体对任意点的转动惯量dJzJzC:物体对质心的转动惯量m:物体的质量:两点间的距离CBAzCz2)2(lmJCJA212lm24lm231ml1.平行轴定理5.回转半径2mρJz惯性半径(回转半径)mJzzOC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOxmgRJO解得：Rg32例题3求：角加速度JOLOΣM(F)=mgROdtdLo=ΣM(F)O2222321mRmRmRJOOC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOxmgRJO2222321mRmRmRJO解得：Rg32例题3求：角加速度12.4刚体的平面运动微分方程刚体平面运动=刚体随质心平动+刚体绕质心转动刚体平面运动微分方程yΣFxΣFCxm..Cym..)(eiCΣMFCJ..已知：m，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象sinΣCCxxmamamgFcos0sinmgFgaNC圆盘作平动0cosCyNymaFmgFΣ0CCMJΣ例题4(b)斜面足够粗糙RaCcossin31sin32sin32mgFmgFRggaNCCFNaCmgF由得：NfFF≤tan31gf≥满足纯滚的条件：maFmgCFRJCsinΣxFFmgN0cosΣyF解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=r()()()eOABABMFPrPrPPrABOOPPLvrvrJgg221,()22OOABPrPJrLPPgg将代入得由动量矩定理：2d[()]()d2ABABrPPPPPrtgdd/2ABABPPgtrPPP已知:。求;滑轮重P；半径为r；PPBA例513动能定理质点的动能221mvT质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成