搜索
专题八：相似三角形的存在性问题【导例引入】导例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向终点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向终点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．当一个点到达终点时，两点都停止移动，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）．当t=s时，△APQ与△ABC相似？【方法指引】函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论.②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.导例答案：或.【例题精讲】类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．类型二：动点产生的三角形相似问题例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米．(1)设点Q的运动速度为每秒厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标；(2)设点Q的运动速度为每秒a厘米，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)依据三角形相似，可以得到比例线段，从而建构相应的方程，从而得到点Q的坐标；（2）利用相似，得到比例线段，解关于a，t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可以求得．【真题精炼】1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）．（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．2．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B的抛物线与x轴的另一个交点为C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求△PBC周长的最小值及此时点P坐标；（3）在线段AB上是否存在点Q，使△ACQ与△AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到E，使∠CAE=∠CDE，作∠DCG=∠ACE，其中G点在DE上．（1）如图①，若∠B=45°则；（2）如图②，若=，求tan∠B的值；（3）如图③，若∠ABC=60°，延长CG至点M，使得MG=GC，连接AM，BM，在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度和取得最小值？4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0），B（1，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上的一点，求△DCA面积的最大值；（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F，G．（1）求CD的长；（2）若点M是线段AD的中点，求的值；（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？【例题精讲答案】例1．解答：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8．由解得：∴B（2，0）,C（6，0）．则4m﹣16m+4m+2=0．解得m=．∴该抛物线解析式为：y=-2x+3；（2）可求得A（0，3），设直线AC的解析式为：y=kx+b．∵∴∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则F（t，﹣+3）．∵P（t，-2t+3），∴PF=-+t．∴S△APC=S△APF+S△CPF=(-+t)·t+(-+t)·(6-t)=(-+t)·6=-+．当t=3时，取最大值，最大值为．②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则M（t，﹣+3）．∵P（t，-2t+3），∴PM=-t．∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=(-t)t-(-t)·(t-6)=-t=-当t=8时，取最大值，最大值为12．综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，设Q（t，3），P（t，-2t+3）．①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=+2t，若△AOB∽△AQP，则=，即．∴t=0（舍去），或t=．若△AOB∽△PQA，则=，即=．∴t=0（舍去）或t=2（舍去）．②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=-2t，若：△AOB∽△AQP，则：=，即．∴t=0（舍去）或t=．若△AOB∽△PQA，则=，即．∴t=0（舍去）或t=14．综上t=或t=或t=14．例2．(1)如图，当∠1＝∠2时，＝，∴=，∴t2＋6t－60＝0．解得t1＝－6＋2，t2＝－6－2(舍去)．当∠1＝∠3时，=，解得t＝7．因此当t＝－6＋2或7时，即当Q点的坐标为(10，－3＋)或(10，)时，△COP与PAQ相似．(2)设P，Q运动时间为t秒，则OP＝t，AQ＝at.①当∠1＝∠3＝∠4时，．＝＝．解得t1＝2，t2＝18(舍去)．此时a＝，Q点的坐标为(10，)；②当∠1＝∠3＝∠5时，∠CPQ＝∠CQP＝90°不成立；③当∠1＝∠2＝∠4时，，＝＝，得5t2－36t＋180＝0．∵Δ＜0，方程无实数解；④当∠1＝∠2＝∠5时，由图可知∠1＝∠PCB＞∠5，故不存在这样的a值；综上所述，存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似，此时a＝，Q点的坐标为(10，)．【真题精炼答案】1．（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：解得：故直线AD的解析式为y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（-2，0），∴OB=2．∵点D的坐标为（0，1）．∴OD=1．∵y=-x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3．∴BC=5．∵△BOD与△BEC相似，①，∴．∴BE=2，CE=．∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1．∴E（2，2）；②，∴.∴CE=．∴E（3，），即E（2，2），或（3，）．2．（1）对于直线y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝3．∴A（3，0），B（0，2），由抛物线经过点A（3，0），C（1，0），B（0，2），所以可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，代入A，B，C三点可得：，解得∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）由抛物线的对称性得C的对称点为A，则直线AB与对称轴的交点P为所求，此时△PBC的周长最小．∵PA＝PC，∴PB+PC＝PB+PA＝AB．∵AB2＝OB2+OA2＝22+32＝13，AB＝，BC2＝OC2+OB2＝1+4＝5，BC＝,∴PB+PC+BC＝+．∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣2）2﹣，由y=-x+2，当x=2时，y=∴点P的坐标为P（2，）．∴△PBC周长最小为，此时点P的坐标为P（2，）；（3）存在．①如图，过点C作x轴的垂线交AB于点Q1，此时∠Q1CA＝∠BOA＝90°，∠Q1AC＝∠BAO，∴△ACQ1∽△AOB．由y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝．∴Q1（1，）；②如图，过点C作CQ2⊥AB于点Q2．此时∠CQ2A＝∠BOA＝90°，∠Q2AC＝∠OAB．∴△ACQ2∽△ABO．过Q2作Q2M⊥AC于点M．则△CMQ2∽△Q2MA．∴，即Q2M2＝CM•AM．设点Q2（x，﹣x+2），则CM＝x﹣1，AM＝3﹣x，Q2M＝﹣x+2．∴（﹣x+2）2＝（x﹣1）（3﹣x），解得：x1＝3（与A点重合，舍去），x2＝，∴Q2（，）．综上，存在点Q1（1，），Q2（，）使△ACQ与△AOB相似．3．（1）如图1中，连接AD．∵AB=AC，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵BD=CD，∴AD⊥BC．∴AD=BD=DC．∴AC=CD．∵∠CAE=∠CDE，∠DCG=∠ACE，∴△DCG∽△ACE．∴=．（2）如图2中，连接AD．∵∠CAE=∠CDE，∠DCG=∠ACE，∴△DCG∽△ACE．∴=．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD==3k，∴tan∠B==．（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD，作PH⊥CD于H．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．∴BC=AC，∠ACB=60°．∵BD=CD，∴AD⊥BC．∴∠CDA=90°．∴AC=2CD．∵∠CAE=∠CDE，∠DCG=∠ACE，∴△DCG∽△ACE．∴==．∴EC=2CG．∵CM=2CG，∴CM=CE．∵∠ACD=∠ECM=60°，∴△ECM是等边三角形．∵CD=CO，∠DCM=∠OCE，CM=CE，∴△DCM≌△OCE（SAS）．∴OE=DM．∵∠CDE=∠CAE，∴A，D，C，E四点共圆．∴∠ADC+∠AEC=180°．∴∠AEC=90°．∵OA=OC，∴OE=OC=CD=DM．∵CG=GM，∴∠GDM=∠GDC=45°．设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，∴AC=2CD=2（a+a．∴．4．（1）∵该抛物线过点A（4，0），B（1，0），∴将A与B代入解析式得：解得：则此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y＝x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．∴S△DAC＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．则当t＝2时，△DAC面积最大为4；（3）符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2．当1＜m＜4时，AM＝4﹣m，PM＝﹣m2+m﹣2．又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当=2时，△APM∽△ACO，即4﹣m＝2（﹣m2+m﹣2）．解得：m＝2或m＝4（舍去），此时P（2，1）；②当＝时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）＝﹣m2+m﹣2．解得：m＝4或m＝5（均不合题意，舍去）∴当1＜m＜4时，P（2，1）；类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2）；当m＜1时，P（﹣3，﹣14）．综上所述，符合条件的点P为（2，1）或