《数学史》从刘徽到祖冲之解析

中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。刘徽中国古代数学的发展赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。中国古代数学的发展刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。中国古代数学的发展刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。中国古代数学的发展东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。中国古代数学的发展据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；中国古代数学的发展祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。中国古代数学的发展隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。中国古代数学的发展唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。中国古代数学的发展算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。中国古代数学的发展唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。3.2.1刘徽的数学成就《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。中国数学家刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，著有《九章算术注》和《海岛算经》等。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。•《九章算术注》对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定《九章算术注》丰富了《九章算术》的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”中国数学家刘徽《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了割圆术，古典数学的形成与发展时期（1）割圆术刘徽注《九章算术》方田章“圆田术”：“半周半径相乘得积步”，求圆面积时用圆周率为3。“又按：为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作．古典数学的形成与发展时期3aRRaRaRCS66612332RaRaRCS12121224662RaRaRCSnnnnnn1112622622626262621古典数学的形成与发展时期第一，设圆的半径为1尺，从圆内接正六边形出发，倍增正多边形的边数，直到正96边形，依次算出正多边形的周长和面积。第二，由正48边形边长计算正96边形面积。第三，找出与圆面积之间的关系，这种关系也称刘徽不等式。DCBAO9619219296SSSSS圆割圆术的基本原理设圆面积为So、半径为r、圆内接正n边形边长为In、周长为Ln、面积为Sn。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为l2n,L2n,S2n。刘徽首先指出，由ln及勾股定理可求出l2n其次知道了圆内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：S2nSoS2n+(S2n－Sn).徽率从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值π≈3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”古典数学的形成与发展时期弧田术刘徽注《九章算术》方田章“弧田术”：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。”（二）体积理论刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。在平面的情形，刘徽成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。“圭田”即等腰三角形“今有圭田，广十二步，正纵二十一步。问：为田几何？“答曰：一百二十六步。术曰：半广以乘正纵。刘徽注：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，即得也。”盈虚盈虚盈虚刘徽图解：“邪田”，即直角梯形的面积：“今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何？”答曰：九亩一百四十四步。术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。即另一畔纵一畔纵正纵＝正纵另一头广一头广斜田面积＝2121正纵两斜半之盈虚盈半正纵两斜虚刘徽根据出入相补原理的图解：“箕田”即等腰梯形“今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正纵三十步。问：为田几何？”答曰：一亩一百三十五步。术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。刘徽注：“中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵舌，半正纵以乘之”舌广踵广盈正纵虚盈虚他在推算《九章算术》中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。(1)阳马术。《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一。刘徽从一长方体出发（见图），将它斜分成两个“壍堵”，然后再斜分壍堵得到两个立体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑。术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”古典数学的形成与发展时期刘徽常使用四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑古典数学的形成与发展时期刘徽常使用四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑方台古典数学的形成与发展时期《九章算术》商功第15问“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何。答曰：九十三尺少半尺。术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。”刘徽注：“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。”刘徽证明阳马体积与鳖臑体积之比为2：1nV4141411324332434132434132432“牟合方盖”在《九章算术*开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型球体积牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。牟合方盖的性质：牟合方盖的内切球就是立方体的内切球.用同一水平面去截，得到一个圆和它的外切正方形（牟合方盖的截面）.二者的关系是截面圆与其外切正方形的面积之比是从而44牟合方盖球VV刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦列利原理”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。刘徽虽然没有推证出球体积公式，但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。刘徽《九章算术注》还有其他许多数学成果，特别是他在《九章算术》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为《九章算术注》第十卷，后来单独刊行，称为《海岛算经》。重差术在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～1