2020年中考数学专题突破二十：连锁轨迹—-—动点在直线上产生的动点轨迹问题

1专题二十：连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】导例：如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0).点M为线段AB的中点，画出线段AB的中点M运动的路径M运动的路径的长是.分析：求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题动点B和M的关系可定义为：B叫做主动点，M叫做从动点.如果：动点的初始位置动点的中途位置动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．【方法指引】注意画图分析：第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置第二步：标出点的初始位置点的中途位置点的终止位置第三步：判断动点的运动路径，计算其长度导例答案：(1)线段M1M2即为点M的运动路径；2【例题精讲】类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为．【分析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．（1）求DE的长；（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S△PDE=6cm2时，求t的值；（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；3（2）分点P在线段BD上和点P在线段AD上两种情况，根据三角形的面积公式计算；（3）证明△PDE≌△EHF，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．【专题过关】1．如图，在△ABC中，BC＝8，M是边边BC上一动点，连接AM，取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C，求动点P的路径长为．2.已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．3.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ，M为线段PQ的中点，则在整个运动过程中，M点所经过的路径长为．4.如图，在RtABC中，6,8ACBC，90C.点P是边AB上一动点，点D是AC4延长线上的一个定点，连接PD，过点D作DEPD，连接PE，且2tan5DPE，当点P从点A运动到点B时，点E运动的路径长为.5.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．6．如图，已知AB=9，点E是线段AB上的动点，分别以AE，EB为底边在线段AB的同侧作等腰直角△AME和△BNE，连接MN，设MN的中点为F，当点E从点A运动到点B时，则点F移动路径的长是7．如图所示，点E坐标为(﹣1,0)，点B坐标为(0,2)，等腰直角△BDC的直角端点D从D(0,0)运动到D(2,0)时，（1）画出线段EC的中点M运动的路径；（2）EC的中点M运动的路径的长是多少？58.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG，PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE=；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）当点P运动至AB中点时，求线段CO的长．9．正方形ABCD的边长为2，动点E在边AB，AD上运动，连接CE，以CE为边作正方形CEFG（点C、E，F，G按顺时针方向排列），连接DG．问题解决：（1）如图（1），当点E在AB上运动时，求证：△BEC≌△DGC；（2）如图（2），当点E在AD上运动时，点M是FG的中点，连接CM．若DG=CM，则AE的长为；（3）如图（1），点E沿边AB由点B运动到点A时，求点F的运动路径的长．10．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=－31x+b交y轴于点A（0，2），交X轴于点B．过点E（2，0）作X轴的垂线EF交AB于点D，P是射线DF上一动点，设P（2，n）．6（1）B点坐标为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）以PB为斜边作等腰直角△BPC，且点C始终在第一象限．①若S△AEP=2，求点C的坐标．②若点P从（2，2）运动到（2，4），则点C运动的路径长为11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少（直接写出结果）？（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．7（1）试判断△EGF的形状，并说明理由；（2）设AE=x，△EGF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．13．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝1时，则点Q的坐标为多少；（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a为多少时，AQ+BQ的值最小，最小值为多少？8例题答案：例1．连接CF．∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF．∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ABD=∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．∴CF⊥BC．∴点F在过点C且垂直BC的直线上运动．∴当PF⊥CF时，PF的值最小．∴PF的最小值==．例2．（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵DE⊥AB，∴∠B=∠BED=45°．∴DE=BD=4cm；（2）当点P在线段BD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（4-2t）=6，整理得4-2t=3，解得t=0.5．当点P在线段AD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（2t-4）=6，整理得2t-4=3，解得t=3.5．综上所述，t=0.5或3.5；（3）点F运动的路径长为10-4．理由如下：如图，连接AE，过点E作EF1⊥DE，且使EF1=ED，过点E作EF2⊥DE，且使EF2=AE，∴∠DEF1F=90°，∠AEF2=90°∴∠DEA＝∠F1EF2．9∴△DEA≌△F1EF2．∴AD=F1F2=10-4．∴当P从点D运动到点A时，点F运动的路径为线段F1F2，该线段的长度=AD=10-4．【专题过关】1.4．2.如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF．∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE．∴四边形EPFH为平行四边形．∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=6-1-1=4，∴MN=2，即G的移动路径长为2．3.以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤3，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；10当t=3时，点M2的坐标为（，3）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，则解得∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8．∵点Q（0，2t），P（8-t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t）．把x=，代入y=-2x+8，得y=-2×+8=t．∴点M3在M1M2直线上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=3，M1N=．∴M1M2=．∴线段PQ中点M所经过的路径长为单位长度．4.分析：点E的运动路径是一条线段，点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.11∵1190EDEPDE，1190PDPPDE，∴11PDPEDE.又∵1125DEDEDPDP，∴11EDEPDP:．∴11DEEDPP.同理22EDEPDP:，可得22DEEDPP.又∵12180DPPDPP，∴12180DEEDEE.∴点1E，点E，点2E三点共线.∵121290EDEPDE，121290PDPPDE，∴1212PDPEDE.∵121225DEDEDPDP，∴1212EDEPDP:．∴121225EEPP.∵1210PP，∴124EE.5.如图所示：过点M作GH⊥AD．∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM．∴MG=MH．12∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．当点P与A重合时，BF1=AE=2；当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，∴∠F2=∠EBF1．∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴21111FFEFEFBF．∴21662FF．∴F1F2=18．∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2=21F1F2=9．6．如图，分别延长AM、BN交于点C．∵∠A=∠BEN=45°，∴AC∥EN．同理可得，BC∥EM．∴四边形MENC为平行四边形，∴CE与MN互相平分．∵F为MN的中点，∴F为CE中点．当点E从点A运动到点B时，F始终为CE的中点．故F的运行轨迹为△CAB的中位线，点F移动路径的长等于AB的一半．∴F的移动路径长为21×9=29．7．设OD=t,作CH⊥OA于H,可得△BOD≌DHC，∴CH=OD=t，DH=BO=2。∴C的坐标为（2+t，t）.∵M为CE中点，∴M点坐标为（21t，2t）．13令M点坐标为（x，y）,则x=21t，y=2t，∴y=x－21．∴点M在直线y=x－21上运动．∵0≤t≤2，∴21≤21t≤23．∴点M的坐标从（21，0）变为（23，1）．∴点M运动的路程为20-121-2322）（）（．8.（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°．∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°．∴∠AEP=∠BPC．∴△APE∽△BCP，∴BCAPBPAE，即413AE．解得AE=43．（2）①证明：如图1，取PE的中点