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第一单元圆圆概念总结1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。例：圆是平面上的一种（曲线）图形，将一张圆形纸片至少对折（两）次可以得到这个圆的圆心。3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。例：要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（5）厘米。4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。例：（半径）决定圆的大小；（圆心）决定圆的位置。5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。例：圆中最长的线段是圆的（直径）。6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。例：圆有（无数）条半径，（无数）条直径，（无数）条对称轴。8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d＝2rr＝12d用文字表示为：半径=直径÷2直径=半径×2例：画一个直径4厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该是（2）厘米。9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。例：圆的周长是它的直径的（3）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫（圆周率），常用字母（π）表示。它是一个（无限不循环）小数，取两位小数是（3.14）。11．圆的周长公式：C=πd或C=2r圆周长=×直径圆周长=×半径×2例：一个圆形养鱼池，直径是4米，这个鱼池的周长是多少米？解：C=πd=4米×π=4π米答：这个鱼池的周长是4π米。12．圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=r×r。圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²。例：把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形。长方形的长相当于圆（周长的一半），宽相当于圆的（半径），所以圆的面积S=（ｒ²）。14．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²或者S=（d2）²或者S=（C2）²例：一个半圆形池塘，它的直径是4米，求它的面积。解：S=（d2）²÷2=2π㎡答：面积是2π平方米15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。例：边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是（4π）2厘米。16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。例：在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是（6.25π）平方厘米。17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=R²－ｒ²或S=（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．）例：在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路，石子路的面积是多少？解：r=2米÷2=1米R=1米＋1米=2米S=R²－ｒ²=（2²-1²）㎡=3π㎡答：石子路的面积是3π㎡。18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d或Ｃ＝r＋2r圆周长的一半=r例：半圆的周长就是用圆的周长除以2。（×）19．半圆面积＝圆的面积2公式为：Ｓ＝ｒ²2例：一个半径为20米的舞台，面积是多少？解：S=πｒ²÷2=π×20×20÷2=200π㎡答：舞台的面积是200π㎡。20．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大（4）倍，而面积扩大（16）倍。21．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9。22．圆周长和直径的比是：1，比值是；圆周长和半径的比是2：1，比值是2；例：已知一个圆形跑到的周长是1256米，求该圆的直径和半径。解:d=c÷π=1256÷3.14=400米r=c÷2π=200米答：圆的直径和周长分别是400米和200米。23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2ａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加ａ厘米。例：一个半径为3米的圆，半径增加1米，周长增加多少米？解：C1=2πr=6π米C2=2πr=8π米增加量：C2-C1=8π-6π=2π米答：周长增加了2π米。24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。26．扇形弧长公式：扇形的面积公式：S=360nｒ²（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）例：一个圆心角是90°的扇形，半径是4厘米，面积是多少？解：90°÷360°×πr²=4π平方厘米答：面积是4π平方厘米。27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。28．有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有2条对称轴的图形是：长方形有3条对称轴的图形是：等边三角形有4条对称轴的图形是：正方形有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。29．直径所在的直线是圆的对称轴。例：圆是（轴对称）图形，有（无数）条对称轴。半圆有（1）条对称轴。第二单元百分数应用题（一）百分数的基本概念1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。例：初一八班有54人，某次体育测试，54人达标，那么初一八班体育达标率是多少？解：54÷54×100%=100%答：体育达标率为100%。4．小数与百分数互化的规则：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。5．百分数与分数互化的规则：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。52=（0.4）=(40)%（二）百分数应用题百分数应用题（一）求增加百分之几？减少百分之几？公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1减少百分之几=减少的部分÷单位1例：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1；先确定单位1是水，已经知道是45；增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”“增长百分之几“等。与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。百分数应用题（二）比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。例1、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）算式：80×（1+25%）2、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）算式：80×（1-25%）3、某小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）算式：100÷（1+25%）4、某小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）算式：100÷（1-25%）百分数应用题（三）列方程解百分数应用题1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。等量关系式：（第一天）—（第二天）=20页方法1：解：设这本书一共有X页。由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20方法2：“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。列算式为：20÷(25%—20%)2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道（第一天）+（等二天）=20页。方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。方程列为：25%X+20%X=20算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。列算式为：20÷(25%+20%)3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？等量关系式：（一本书）—（第一天）—（第二天）=20页方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。列方程为：X—25%X—20%X=20算术法：20÷（1-25%-20%）4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？方程法：解：设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20百分数应用题（四）利息的计算1.本金：存入银行的钱叫做本金。2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。利息=本金×利率×时间3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。4．利率：利息与本金的比值叫做利率。5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间7．本息：本金与利息的总和叫做本息。8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息利息：2000×4.14%×5=414元第二步：本金+利息：2000+414=2414元。例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元