定积分的概念与性质-公开课

5.1定积分的概念与性质第五章新课引入?我们以前学过一些图形面积的计算，请大家回想一下，你学过哪些图形的面积公式？正方形、矩形、三角形、梯形、圆、扇形等。规则图形?不规则图形的面积你会求吗？如山东省的面积、济南市的面积、大明湖的面积……下图的面积你会求吗？同学们听说过曹冲称象的故事吗？古代没有那么大的秤，曹冲是怎样秤出大象的体重的？我们可不可以把这个不规则的图形分割以后一块一块地求？用两组互相垂直的平行线分割这个图形：中间这些矩形的面积容易求出，边界处的图形中有一条边为曲边，所以面积不容易求.我们把边界处的图形叫作曲边梯形.由连续曲线所围的平面图形称为曲边梯形。与三条直线如何求曲边梯形的面积？?A)(xfyaxbx用矩形面积近似取代曲边梯形面积bxax,轴及x基本思路:(),(()0)yfxfx如何才能使这种近似代取更精确？当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的具体方法:1.将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形2.在每个小曲边梯形的底边上作一个矩形近似代取小的曲边梯形1.曲边梯形的面积(1)分割在区间[a,b]内,任意插入n–1个分点(2)近似把区间[a,b]分成n个小区间1x2x1ix1ix1-nx)(xfy？AOabxybxxxxxann1210],[1iiixx任取））（，（nixxxxfAiiiiii,,2,1-)(1-化整为零以直代曲(3)求和(4)取极限令则2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在[T1,T2]内物体所经过的路程s.已知速度(1)分割将它分成在每个小段上物体经n个小段过的路程为niiAA1iniixf1)(}{max1inixiniixfA10)(lim],[)(21TTCtvv,0)(tv个分点，中任意插入在1],[21nTT),,2,1(],,[1niTTii),,2,1(niSi积零为整精确化(2)近似(3)求和(4)取极限上述两个问题的共性:1解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”2所求量极限结构式相同:乘积和式的极限令，任取],[1iiitt代替变速以)(iviS]),[()(1iiiiittttv.,,2,1niniiSS1,)(1niiitv}{max1init抛去几何意义和物理意义，我们把具有这两个共性的问题，用定积分来表示：iniibaxfdxxf10)()(liminiiTTtvdttv10)()(21lim5.1.2定积分的定义任意插入n个把区间[a,b]分成n个小总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数记怎样分法,f(x)在[a,b]记作分点区间令1定义作乘积并作和也不论怎样取法,如果不论[a,b]上的定积分,即设函数中上有界，在在],[],[)(babaxfbxxxxxann1210),,2,1(],,[1nixxii),,2,1(,-1nixxxiii}{max1inix),,,2,1(],[1nixxiii上任取在小区间，iixf)(，niiixfS1)(i0}{max1inix只要Sbadxxf)(其中—积分号;—被积函数;—被积表达式;—积分变量;—积分限.注(1)叫做f(x)的积分和.的定积分存在,若f(x)在[a,b]上的称f(x)在[a,b]上可积.(2)定积分的值与积分变量的记号无关,仅与f(x)和[a,b]有关.即(3)(4)是数值.是函数,a=b时,iniibaxfdxxf10)()(lim)(xfxdxxf)(ba,iniixf1)(bababadttfduufdxxf)()()(baabdxxfdxxf)()(0)(badxxfdxxf)(badxxf)(14这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010曲边梯形面积曲边梯形面积的负值•定积分的几何意义15abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和•定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积的负值16例2xxd1102求解421xyoxy11xxd1102例1利用定积分的几何意义，计算解17三、定积分的性质性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([•性质1•性质2性质2babadxxfkdxxkf)()(•性质3性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立18利用定积分的几何意义，可分别求出解例319三、定积分的性质•性质1•性质2•性质3•性质4性质4abdxdxbaba1性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([性质2babadxxfkdxxkf)()(20如果在区间[ab]上f(x)0则•性质5•性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则baabMdxxfabm)()()((ab)badxxf0)((ab)•推论如果在区间[ab]上f(x)g(x)则babadxxgdxxf)()((ab)21如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点使下式成立这是因为由性质6•性质7(定积分中值定理)baabfdxxf))(()(——积分中值公式baabMdxxfabm)()()(即baMdxxfabm)(1由介值定理至少存在一点[ab]使badxxfabf)(1)(两端乘以ba即得积分中值公式24例4求解.arctan1lim2xxxdtttt2arctan1xxdtttt)2(arctan1xx)2(xx,arctan12.2arctan1limxxxdttttarctan12lim25小结：一、定积分定义二、定积分的性质同学们，再见！