孤立子方程与代数几何解

1摘要本文主要介绍几种著名的孤立子方程和代数几何解，共分为三章：第一章中，简单介绍非线性，特别是孤立子。简述孤立子理论的产生和发展过程并说明本文的主要内容。第二章中，详细介绍五种著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon方程、Todalattice方程，以及它们的物理意义。第三章中，简介几种经典形式的孤立子方程的解，特别是代数几何解。介绍代数几何解的产生和发展过程，以及它的特点。关键词：非线性；孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程；sine-Gordon方程；Todalattice方程；代数几何解AbstractInthisthesis,afewfamoussolitonequationsandthealgebro-geometricsolutionsareintroduced.Theoutlineofthisthesisisasfollows:Inchapter1,asimpleintroductionofnonlinearityandsolitonaregiven.Theoriginationanddevelopmentofthesolitontheoryarealsopresented.Inchapter2，fivekindsoffamoussolitonequation：KdVequation、Camassa-Holmequation、KPequation、sine-Gordonequation、Todalatticeequation，andtheirphysicalsignificanceareintroduced.Inchapter3,severaltypicalformsofsolutionsforsolitonequations,especiallythealgebro-geometricsolutionsarerecommended.Theemergenceanddevelopmentofalgebro-geometricsolution,anditscharacteristicsaredescribedindetail.KeyWords:Nonlinearity;Soliton;KdVequation;Camassa-Holmequation;KPequation;sine-Gordonequation;Todalatticeequation;Algebro-Geometrysolution2第一章引言随着自然科学和技术的发展，人们发现客观世界的真实情况不能完全由线性模型反映出来，而非线性现象在客观世界占据了统治地位。但是迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，依然没有清晰的、完整的认识。非线性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。因此人们投入了极大的热情在非线性科学的发展上，使得非线性科学的研究范围几乎涉及了社会科学与自然科学的所有领域。在非线性科学中，研究主体形成了3个最基本得分支：混沌、分形、孤立子。其中，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。分形是一种来自于思维上的理论存在，由某些不规整但却具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。而孤立子是非线性动力系统中的非线性与色散两种作用相互平衡的结果，代表着非线性科学中无法预料的有组织行为。虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比较困难，且为时尚早。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和启示。孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上，随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。到目前为止，孤立子现在已经广泛的应用到许多领域中，例如流体力学、非线性光学、等离子体、电磁学、生命科学、通讯等等。1.1孤立子与孤立子理论的发展1834年，英国科学家、造船工程师J.S.Russell（约翰·罗素）骑马在爱丁堡附近的一条运河河道中，偶然观察到了一种奇妙的水波。这种水波在行进过程中速度与形状在较长时间内没有明显变化，他把这种水波称为孤立波。之后Russell为了更加仔细的研究这种现象，进行了许多实验并且观察到了这样的孤立波。但是由于Russell一直都不能建立合理描述孤立波的数学模型，当时科学界的权威们对这个结果一开始就表示了怀疑和反对。甚至连当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家GeorgeBiddellAiry与英国流体力学家GeorgeGabrielStokes也对此提出质疑，怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们的怀疑的问题主要有：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。此后许多人都对这种波进行了进一步研究，但是均未能成功的给出令人信服的数学证明，争论一直持续了几十年。直到1895年，荷兰著名数学家D.J.Korteweg和他的学生G.deVries在研究小振幅长波在浅水中的运动时，建立了著名的Korteweg-deVries（KdV）方程，并且求出了与罗素描述一致的孤波解。至此，孤波的存在才得到了公认。但是，孤立波是否稳定？两个孤立波碰撞后是否变形？这些问题仍没有解决，不少科学家对此持否定态度，认为孤立波“不稳定”，放弃了进一步的研究。孤立波又一次失去了人们的关注，3处于长期的埋没之中，在寂寞中继续度过了前半个20世纪。孤立波的长期埋没、沉寂，并不意味着它已折戟沉沙。1965年，美国科学家N.Zabusky和M.D.Kruskal利用先进的计算机技术通过数值计算详细研究了KdV方程两波相互作用的全过程，通过实验前后的数值结果分析后，发现两个孤立波相撞之后，各自的大小形状和运动方向均保持不变，而且还具有弹性散射的性质。从而揭示了孤立波的本质，他们把这类特殊的波称为孤立子。这项研究工作是孤立子理论发展史上的一个重要的里程碑，自此以后相当一段时间内，非线性方程与孤立子的研究在学术界蓬勃发展，蔚为大观。随着孤立子理论的深入研究，人们发现不仅在水波中，在光学、固体物理、等离子物理中也出现了孤波，并且大批具有孤子解的非线性方程也不断被揭示出来，例如非线性Schrödinger方程、sine-Gordon方程等。研究结果表明；这些孤立子方程可能产生的背景不同，当时它们都是Liouville可积的，且具有无穷守恒律。孤立子方程可以表示成两个线性谱问题的相容条件，即可以由Lax对的相容性得出，这也是孤立子方程最重要的性质之一。在孤立子理论中，求解孤立子方程的精确解并研究解的性质一直是古老而在理论和实际上又很重要的课题。1967年由C.S.Gardner、J.M.Greene、M.D.Kruskal和R.M.Miura(GGKM)提出的反散射方法是最早用来求解孤立子方程精确解的方法，求解了KdV方程的初值问题。在孤立子方程求解方法的发展中起到了奠基作用，并且一直备受数学家与物理学家的广泛重视，取得了丰硕饿的成果。随着人们对孤立子的深入研究，求解孤立子方程的方法也丰富起来，例如Bäcklund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性导数法、Lie群分析法、非线性化法、Lax矩阵的有限阶展开法、穿衣法、Painleve分析法、对称约束法、分离变量法、其次平衡法等等。本文主要介绍代数几何法。目前较为完整的数学和物理孤立子理论正在逐渐形成，国内外的研究者们也在这方面出版许多专著。1.2本文的主要研究内容在上一节中我们对孤立子方程进行了简单的介绍。在第二部分中将详细的介绍几种著名的孤立子方程：KdV方程、KP方程、Camassa-Holm方程、Sine-Gordon方程、Todalattice方程，以及它们的物理意义。在第三部分，简单介绍几种求解孤立子方程精确解的方法，重点说明代数几何解，它的特点、产生以及发展过程。4第二章孤立子方程孤立子方程是用来描述孤立子现象的非线性微分方程，这一章我们将详细介绍几种著名的孤立子方程。KdV方程KdV方程是孤立子方程领域最著名的方程之一。该方程是由荷兰著名数学家D.J.Korteweg和他的学生G.deVries于1895年在研究浅水中的小振幅长波运动的实验中所得到的。关于KdV方程的历史背景最早可以追溯到1834年JohnScottRussell的实验，1870年左右，LordRayleigh与JosephBoussinesq对该方程进行了理论方面的研究。事实上，KdV方程最早出现在Boussinesq的一篇著作之中。具体而言，KdV方程是一个非线性色散的偏微分方程，还是一个完全的可积系统，它有无穷多的守恒率，其表达式为60txxxxuuuu.其中，u是关于空间变量x与时间变量t的函数,uxt。等价地，KdV方程也可以改写为如下Lax方程的形式：,.tLLALAAL其中，L为Sturm-Liouville算子，23,43.LxuAxuxxuKdV方程的出现使得孤波的存在得到了公认，但是直到1965年N.Zabusky和M.D.Kruskal找到了该方程数值形式的孤子解，并且发现KdV方程是FPV系统的连续极限这一性质之后，KdV方程才引起了数学与物理学界的广泛关注。Camassa-Holm方程KdV方程作为水中重力波得一个简单模型，虽然其适用范围较广，但是它却无法模拟类似于stokes极大波这样的基本物理现象。正是由于弱非线性色散方程（如KdV方程）在模拟自然界中有悖于规则性现象的失败，才促使人们找到其它模型来描述非线性色散波。1967年J.M.Greene与Naghdi导出了一系列的水波方程来模拟薄区域中的流体，例如，沿海地区的内波等。Green-Naghdi方程具有Hamiltonian结构，并且Camassa与Holm在1993年通过使用渐近展开的方法得到了其在一维空间中的近似哈密尔顿函数，该函数通过反散射方法可知是可积的。Camassa与Holm得到的强非线性色散方程：2213110.4284txxtxxxxxxuuuuuu被称为Camassa-Holm方程（CH方程）。事实上，Camassa-Holm方程最早是由B.Fuchssteiner于1981年通过递归算子的方法得到的，但是他当时只是指出该方程是哈密尔顿可积的，既没有给出任何物理解释，也没有给出保谱算子。该方程直到Camassa与Holm的重新发现才又引起了人们的关注。5KP方程KP方程是由前苏联物理学家BorisB.Kadomtsev与VladimirI.Petviashvili与1970年发现的，它是KdV方程由一维空间x向二维空间(x,y)的自然推广，其具体的表达式为20.txxxxyyxuuuuu在物理学中，KP方程被用来模拟具有弱非线性恢复力和频率色散的波长。当表面张力小于重力时，取方程中的1;当表面张力小于重力时，取1。另外，KP方程还可以用来模拟波在磁铁介质中的传播。sine-Gordon方程sine-Gordon方程是包含d'Alembert算子、正弦函数在内的（1+1）一维空间上的非线性双曲方程，它最早起源于十九世纪人们对Gauss曲率1k的伪球面研究。在空间-时间坐标系,xt内，sine-Gordon方程可以表示为sin0.ttxx若引入光