20.3二项式定理(1)

铜山中专幼教部对口升学二年级课件制作人李巧玲2016.5.9(a+b)2=22a+2ab+b思考:(a+b)4的展开式是什么?3223a+3ab+3ab+b(a+b)3=复习：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取b的情况有1种，即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4二项展开式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式注1）．二项展开式共有n+1项2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此Cnran-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr：二项式系数一般地，对于nN*有如(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2＋…＋Cnrxr＋…+xn二项式定理的特点1.系数规律：2.指数规律：各项的次数均为n；二项和的第一项a的次数由n降到0，第二项b的次数由0升到n.3.项数规律：二项式的的展开式共有n+1个项4.二项式的展开的形式是关于a与b的齐次多项式.、、…、0nc1nc2ncnnc通项公式将二项式展开式中第r+1项的一般表达式叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数叫做二项展开式的通项公式，rncrncTr+1=an-rbr(r=0,1,2,3,…,n)注意通项Tr+1是展开式的第r+1项；项数r+1与指标r不一致（相差1）。通项公式中项数是从小到大，由左到右的顺序排列相加的，通项Tr+1=an-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项，但不是(b+a)n的第r+1项虽然(a+b)n=(b+a)n。rnc061524266611(2)(2)()(2)()CxCxCxxx解:61(2)xx32236012164192240160xxxxxx333424556666661111(2)()(2)()(2)()()CxCxCxCxxxx第三项的系数第三项的二项式系数第三项61(2)xx求的展开式。例132236012164192240160xxxxxx例2(1)求的展开式常数项；(2)求的展开式的中间两项的二项式系数.93()3xx93()3xx奎屯王新敞新疆练习1：14.14.42.42.)()12(7DCBAxx常数项等于的展开式中，练习2:(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。(2)求(x－)9的展开式中x3的系数。1xD1．填空：(x3＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数是，第4项的系数是．352803433742xxCT153732xC2．选择题：(x－1)10的展开式的第6项的系数是()(A)(B)(C)(D)610C610C510C510CD55105551061xCxCT(a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn0nc1ncrncnnc将二项式展开式中第r+1项的一般表达式Tr+1=an-rbr(r=0,1,2,3,…,n)叫做二项展开式的通项公式，叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数。rncrnc1234正本作业：66页习题1/2课外作业：学习指导书44-47页背诵二项式定理及通项预习二项式系数这一节知识整理：二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(主要研究了以下几个问题：⑴展开式及其应用；⑵通项公式及其应用；⑶二项式系数及其有关性质.rrnrnrbaCT1131202nnnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCCn0n1n-12n-22nnnrn-rrnnnn(a+b)=Ca+Cab+Cab++Cab++Cb二项式定理：n∈N*注:(1)上式右边为二项展开式,各项次数都等于二项式的次数(2)展开式的项数为n+1项；(3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0字母b按升幂排列,次数由0递增到n(4)二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数组合数的上标由0递增到n20.3.2二项式系数性质及应用幼教部对口单招二年级课件制作人李巧玲(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等且同时取得最大值2nnC12nnC12nnC(3)各二项式系数的和0122rnnnnnnnCCCCC(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.二项式系数的性质mnmnnCC一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（4）mnmnmnCCC11（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）022r1132r-1011222nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC例1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是；二项式系数最大的项是第项.611C，变式1：在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为；系数最小的项的系数为；系数最大的项的系数为。462C511611462C3变式2：在(x-y)n的展开式中,第6项的系数的绝对值最大则n=。10例2、在的展开式中，求:1）二项式系数最大的项；2）系数的绝对值最大的项是第几项？3）系数最大的项；822()xx4）各二项式系数之和；5)各项系数之和；系数的绝对值之和？_____.1)(10项，其系数为的项是第最大的展开式中二项式系数yx___,240).3(___)10)(7)(5)(2)(1).(2(_____,63).1.(2346216622106)5()1系数为则展开式中若二项式系数之和为，为展开式的各项系数之和设的系数为，的展开式中的值为则实数且若（xxxxaaaxaxaaamxNMNMxxxxxmxn62521-71501001001）（78r100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期二）（99100990100C7C7例3、今天是星期一，那么天后的这一天是星期几？1008110003天后是星期几？那么一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（4）mnmnmnCCC11（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）123正本作业：课本66页习题3、4,69页复习题A组第7题课外作业：复习题A组做完背诵二项式系数性质