复变函数期末复习

1期末复习第一章复数与复变函数1.复数的实部、虚部,复数的模、辐角(主辐角),共轭复数的计算2.复数的表示：复数的代数式、三角式、指数式的相互转化3.复数的运算：加、减、乘、除及其几何意义,乘幂与方根；4.点集概念:单连通区域,多连通区域,有界区域,无界区域的判定；2区域正方向的判定：多连通区域的外边界取“逆时针”方向为正方向，内边界取“顺时针”方向为正方向．5.平面曲线(简单曲线、光滑或分段光滑曲线),特别是复方程表示什么平面曲线,平面曲线的复方程怎么表示6.复变函数概念、复变函数的几何解释--------复变函数将给定平面曲线变成什么曲线例如函数将z平面上的曲线2wz224xy变成w平面上的什么曲线？37.指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的定义及其计算.例如sin12(1)iiiLni第二章导数1.复变函数极限、复变函数连续.2.复变函数在一点可微、在区域可微、在区域解析、在一点解析;讨论给定函数的连续性、可导性、解析性.43.Cauchy-Riemann方程的应用；在D内解析的充要条件是：fzuiv().uvvufziixxyy4.调和函数;共轭调和函数的定义证明是调和函数，并求已知为(,)uxy(,)uxy实部或虚部的解析函数()fz,uvuvxyyx2)u和v在D内满足C-R方程：(,)(,)uxyvxyD和在内可微;1)且5第三章复变函数积分Cauchy积分定理,闭路变形原理,Cauchy积分公式,高阶导数公式.2.应用参数方程法,Cauchy积分定理,闭路变原理,Cauchy积分公式,高阶导数公式计算复积分.1.基本理论例如计算积分:2232,:4(1)zCedzCxyzz||1coszzdzImCzdz其中积分路径是从到的直线段C1zi0z6第四章级数2.幂级数的收敛半径，收敛圆，收敛圆周的计算3.关于1,sin,cos,1zfzefzzfzzz在处的幂级数展开式及其展开范围.0z1.判断复级数的绝对收敛与条件收敛性.4.求解析函数在圆环、孤立奇点处的洛郎展开式例如1()(1)fzzz在01,011,zz内展成洛朗级数.11z7第五章留数1.孤立奇点的定义及分类的判定2.孤立奇点处留数的计算，应用留数定理计算周线上的复积分.3.用留数定理计算实积分()(),.()()imxPxPxdxedxQxQx2cos23xxIdxxx例如：计算8第一章Fourier变换1傅立叶积分的概念()itftedt傅立叶积分2Fourier变换和逆变换的定义()d,itftet()[()]Fftℱ1()d.2itFe1()[()]ftFℱ9指数衰减函数,0()(0)0,0tetftt的Fourier变换0()sinftt正弦函数0,0()1,0tutt单位阶跃函数103Fourier变换的性质及其应用线性性质、位移性质、微分性质积分性质、对称性质、相似性质4卷积与卷积定理1212()()d()().fftftft11212[()()]2()().FFftftℱ1212[()*()]()().ftftFFℱ115d函数及其傅里叶变换满足以下两个条件0,0;(1)(),0.ttt(2)()d1.tt的函数称为d函数.筛选性质,d函数是偶函数,相似性质,d函数的导数d函数的傅里叶变换12第二章Laplace变换1Laplace积分的概念0()()d,stFsftetLaplace积分2Laplace变换和逆变换的定义1()[()]ftFsℒ1()d(0)2istiFsesti()[()]Fsftℒ0()dstftet13常见的Laplace变换公式1[()](Re()0);utssℒ1[](Re()Re()).tessℒ22[sin](Re()|Im()|).tssℒ22[cos](Re()|Im()|).stssℒ11[](1)(1,Re0),tssℒ00[()].sttteℒ143求Laplace逆变换的方法利用卷积定理;利用留数定理;利用部分分式4Laplace变换的性质1线性性质2微分性质3积分性质4延迟性质5位移性质6相似性质155卷积与卷积定理12120()()()()d.tftftfft定义若给定的两个函数在t0时12(),()ftft恒为零.则积分120()()dtfft称为函数1()ft与2()ft的卷积,记作12()()ftft即6Laplace变换的应用求线性常微分方程