平面波反射与透射

第七章平面波的反射与透射在无限弹性介质中有无旋波（纵波）和等容波（横波）这两种弹性波的传播。但是实际介质内部，一般都会存在分界面。如地表表面、岩层的分界面。通常把实际地层称为层状介质。本章研究弹性波在传播的过程中遇到分界面的情况。纵波和横波地震波到达之处,介质就产生形变。由力学定律知道，任何小的形变都可以分解为两部分：一部分表示胀缩，即变体积而不变形状；另一部分表示畸变，即变形状而不变体积。形变传播时，两部分的传播速度不同。在震源附近，两部分还未分开，所以波经过处的形变是复杂的。在较远的地方，波阵面就分成两个。胀缩波传播较快，波阵面上的质点位移和传播方向一致，所以叫做纵波，一般用字母P(Primary)表示。较慢的叫畸变波,质点位移和传播方向垂直，所以叫做横波,一般用字母S(shear)表示。在均匀的介质中，波阵面在震源附近是曲面，但在相当距离后就趋近于平面。为简单起见，现只讨论平面波。地震P波(纵波)和S波(横波)运行时弹性岩石运动的形态纵波：间隔形成压缩带（密集带）和膨胀带（稀疏带），传播方向与振动方向一致，波速――Vp横波：传播方向与振动方向相垂直，波速――Vs水平面内分量：称SV波垂直面内分量：称SH波§7-1平面波在自由界面上的反射自由界面：指地表应力为零的界面，半无限弹性体的界面就是自由界面。由于地球表面大气压相对于地球内部压力来说是十分小的，在讨论中可把大气压忽略不计，于是地球表面可以看作自由界面。三点说明•因为地球介质在短暂力（如爆炸）的作用下，在离开震源稍远的大部分地区可看成弹性体，并且地球半径比地震波波长大得多，所以可将地球看作半无限大弹性介质，同时，可近似将地震波视为平面波。•任何复杂的波都可看成一系列不同振幅，不同频率及波长谐波的叠加，因此仅讨论一个平面谐波入射到自由界面的情形即可。•如果平面波的传播方向与z轴垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面内），弹性动力学问题中的场变量都依赖于x和y两维，此时弹性动力学问题为二维问题，这时讨论分层介质波传播问题就是讨论这样二维弹性动力学问题。§7-1平面波在自由界面上的反射一、平面纵波在自由界面上的反射设半无限弹性介质的自由表面为yoz面，z轴与图面垂直。假定yoz面的左边为真空，由于没有传播振动的介质，故不会产生透射问题，全部入射波都在界面上被反射。P1入射纵波P1S1反射横波P11反射纵波设一平面纵波与x轴夹角为α1的方向入射到自由界面；设入射纵波中质点的位移函数（即波动方程的解）为：22222pUUVtr1111cossinsin()pxyUAtV1111sin()UAtfxgy改写为1111cossin;ppfgVV设入射波为拉伸波，即质点的运动方向与波的前进方向相反，于是可以知道在入射波中质点的位移分量为：111111cos,sinuUvU假设与自由界面作用后，只有纵波反射，且反射纵波的位移函数为：22221sin()UAtfxgy2222cossin;ppfgVVf2前面的负号原因：反射波相对于x轴而言，是正向传播。δ1为常数，表示由反射所引起的相位改变。仍假设反射波为拉伸波，在此波动中质点的位移分量为：222222cos,sinuUvU问题：确定反射波的各参数方法：由边界条件可以确定边界条件：在自由界面上位移不受任何限制，即应力等于零；即在x=0的平面上，对于y与t的任意值有0xxyxz由广义胡克定理和几何方程可以得到：000000[]20[]0[]0xxtxxyxxxzxxuxuvyxuwzx自然满足在此波动中，质点的位移函数与z无关，且位移在z方向的分量w=0因为在自由界面上既有入射波带来的位移，又有反射波带来的位移。所以在假定只有反射纵波的时候，有1212;uuuvvv1111sin()UAtfxgy111111cos,sinuUvU22221sin()UAtfxgy222222cos,sinuUvU代入边界条件可以得到：2211122211112221(2cos)cos()(2cos)cos()0[sin2cos()sin2cos()]0pAtgyAtgyAtgyAtgyV对于y的任意值，为了使第一式得到满足，必须有1211112112(1)();(2)0,,ggAAAA即或上面两式是等价的，说明经过自由界面的反射，位移的位相改变了π，但是将其代入第二式却不能使第二式得到满足。于是我们可以知道仅有一反射的纵波，是不能同时满足边界上无正应力和无剪应力的边界条件的。现在我们证明还有一反射的横波，入射纵波、反射纵波、反射横波代入可以同时满足边界上的边界条件。设反射横波的传播方向与x轴的夹角为β2，相应于此波质点的位移函数为：33332sin()UAtfxgy2233cossin;ssfgVV考虑到横波中质点的位移与传播方向垂直，且假定z方向无运动，因此振动必然发生在oxy平面内，这样，在次波动中质点的位移分量为：332332sin,cosuUvU入射纵波、反射纵波、反射横波同时存在，在自由界面上质点的位移分量为：123123;uuuuvvvv1111sin()UAtfxgy111111cos,sinuUvU22221sin()UAtfxgy222222cos,sinuUvU33332sin()UAtfxgy332332sin,cosuUvU代入边界条件可以得到：000000[]20[]0[]0xxtxxyxxxzxxuxuvyxuwzx自然满足整理可以得到：211122221323212112213232(2cos)cos()(2cos)cos()(sin2)cos()0sin2cos()sin2cos()cos2cos()0ppsppsAtgyVAtgyVAtgyVAAtgytgyVVAtgyV由此可以得到:1231221122,sinsinsinsinsinppspsgggVVVVV即由此可以得到：，一、二、11２２1221322121232和必须等于零或者等于如果＝＝０，带入边界条件可以得到(A+A)cos2sin-Asinsin2=02(A-A)cossin-Acos2=02221122222sinsin2,2sinsinpsVV即入射波、反射波振幅间的关系结论：平面纵波在自由界面上反射的特点（1）、纵波入射到自由界面上时，将产生两种反射波，即反射纵波和反射横波。（2）、入射波与反射波的传播方向存在关系。当入射波为纵波的时候，反射纵波的射线与自由界面法线的夹角等于入射角，反射横波的射线与自由界面法线的夹角与入射角的夹角，类似与光的折射的关系。（3）如果取反射波的位相改变量为零，入射波和反射波的振幅也存在相应的关系。当入射波的振幅、入射角以及材料的弹性常数已知时，可以求出反射纵波、反射横波的反射角及振幅。反射时波的能量分配关系波的能量与振幅的平方成正比，引入振幅比２３１１ＡＡ为纵波的反射系数，为横波的反射系数ＡＡ振幅比反映了反射波相对于入射波振幅的相对强度。２３212221１１２３12212１１2122122２21122１1222121３１ＡＡcos2sin-sinsin2=－cos2sinＡＡＡＡ２cossin＋cos2=２cossinＡＡ解得：－cos2sin-sinsin2２cossincos2Ａ＝cos2sin-sinsin2Ａ２cossincos2cos2sin－cos2sinＡ＝Ａ121221122122２cossin２cossincos2sin-sinsin2２cossincos2应用线性代数的克莱姆法则22222(1)(12)psVKV２２２122２２１122３12２２１122２122展开整理可以得到：Ａsin２sin2－Ｋcos2＝Ａsin２sin2＋Ｋcos2Ａ２Ｋsin２cos2＝Ａsin２sin2＋Ｋcos2sinsin不同材料反射系数随入射角的变化研究入射纵波的应力与反射波的应力之间的关系：入射纵波在传播方向引起的应力为：12(2)(2)rtrrUr111111111cossinsin()sin()cossinsin()pppxyrUAtAtVVrxyrUAtV1(2)cos()rppArtVV反射纵波的位移方程为：22sin()prUAtV１，取＝０(2)(2)cos()rppUArtrVV２１２＝－－反射横波的位移方程为：sin()rUAtV３３ｓ2cos()rssUArtrVV33＝－－结论：入射纵波引起的应力和两个反射波引起的应力都是时间和位置的函数。在自由界面上存在：222222(1)(12)rrsrrppsAAAVAVVKV２２１２122２２1122312２２1122２122sin２sin2－Ｋcos2＝-sin２sin2＋Ｋcos2２sin２cos2sin２sin2＋Ｋcos2sinsin入射纵波的应力与反射波应力的关系。二、平面横波在自由界面上的反射横波：质点的运动方向与波的传播方向垂直，但是不限定于那个面内。故考虑任一横波所引起的位移可以是振动方向互相垂直的二波叠加而成。无论质点在什么方向振动，它与波的传播方向垂直，可以分解为一个平行于z轴和垂直于z轴（即在xoy面）的运动。质点平行于z轴振动的横波，我们称为SH波；质点垂直于z轴振动的横波，我们称为SV波。在研究中，通常把横波看作是由两个方向的振动所组成，一个是质点振动在水平平面内的横波分量，称为SV波，一个是质点振动在垂直平面内的横波分量，称为SH波，SV波SH波（1）质点平行于z轴振动的横波（SH波），到达自由界面时应该满足的边界条件。边界条件为：在x=0的平面上0xxyxz由于振动平行于z轴，故在此波动中质点没有x和y方向的位移，即u=v=0，由于w只是x、y、t的函数，与z没有关系。00xxyxz自然满足，现在考虑的条件就可以了。由这个唯一的边界条件可以分析得到以下结论：质点平行于z轴振动的横波（SH波），入射到自由界面时，只产生一个质点是平行于z轴振动的反射横波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅与入射波的振幅数值相等，但是位相改变了；没有纵波反射。SH波入射到自由界面SH波11112222cossin;cossin;ssssfgVVfgVV1111sin()wBtfxgy22221sin()wBtfxgy121112221sin()sin()0wBftgyBftgyx1212BB•由这个唯一的边界条件可以分析得到以下结论：质点平行于z轴振动的横波（SH波），入射到自由界面时，只产生一个质点是平行于z轴振动的反射横波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅与入射波的振幅数值相等，但是位相改变了；没有纵波反射。SH波（2）对于质点垂直于z轴（即在xoy面）振动的横波（