1.-中点弦问题(点差法)

-1-圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题------点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11yxA、),(22yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11yxA、),(22yxB)1,2(M为AB的中点421xx221yy又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx-2-两式相减得0)(4)(22212221yyxx于是0))((4))((21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例2、已知双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且),(11yxA、),(22yxB则221xx，221yy122121yx，122222yx两式相减，得0))((21))((21212121yyyyxxxx22121xxyykAB故直线)1(21:xyAB由12)1(2122yxxy消去y，得03422xx08324)4(2这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。-3-二.求弦的中点坐标、弦中点轨迹例3、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x12021xxx，0212yyy又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(221210xxyyy0212123yxxyy32121xxyyk3230y，即210y点M的坐标为)21,21(。例4、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(yxM，则xxx221，yyy221又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy3212132121xxyyk33yx，即0yx由12575022xyyx，得)235,235(P)235,235(Q-4-点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)235235(0xyx三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为12222bxay，则5022ba┅┅①设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x，212300xy12021xxx，12021yyy又1221221bxay，1222222bxay两式相减得0))(())((2121221212xxxxayyyyb即0)()(212212xxayyb222121baxxyy322ba┅┅②联立①②解得752a，252b所求椭圆的方程是1257522xy四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422yx，试确定的m取值范围，使得对于直线mxy4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设),(111yxP，),(222yxP为椭圆上关于直线mxy4的对称两点，),(yxP为弦21PP的中点，则12432121yx，12432222yx两式相减得，0)(4)(322212221yyxx-5-即0))((4))((321212121yyyyxxxxxxx221，yyy221，412121xxyyxy3这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy4的交点必须在椭圆内联立mxyxy43，得mymx3则必须满足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。习题实战1.直线1yx与椭圆22193xy相交于A、B两点，则AB中点坐标2.已知，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程是x=b，倾斜角为4的直线l交椭圆C于A、B两点，且线段AB的中点为11(,)24，求椭圆C的方程.-6-3.已知双曲线2212yx，经过点(1,1)M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B两点，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由？4.已知又曲线线C的渐近线方程3yx，其一个焦点为1(10,0)F.（1）求双曲线的方程；（2）是否经过1(0,3)B的直线l，使得直线l与双曲线线C交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过2(0,3)B？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.