马走日棋盘算法

马走日棋盘算法问题描述在给定大小的方格状棋盘上,将棋子”马”放在指定的起始位置,棋子”马”的走子的规则为必须在棋盘上走”日”字;从棋子”马”的起始位置开始,搜索出一条可行的路径,使得棋子”马”能走遍棋盘上的所有落子点,而且每个落子点只能走一次;例如:棋盘大小为5*5,棋子马放的起始落子点为(3,3);算法需要搜索一条从位置(3,3)开始的一条包括从(1,1),(1,2),(1,3)…(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)总共25个可以落子的全部位置;问题分析通过上面的问题描述,我们对问题的内容有了正确的理解,接下来我们开始对问题进行具体细致的分析,以求找到解决问题的正确的可行的合理的方法;首先我们需要在程序中用合适的数据结构表示在问题中出现的棋盘,棋子,棋子的走子过程;接下来我们需要对核心问题进行分析,即如何搜索一条可行的路径,搜索采取何种策略,搜索的过程如何表示;对于一个大小为n*m大小的棋盘,棋子从当前位置(x,y)出发,可以到达的下一个位置(x’,y’):(1)(x+1,y+2)(2)(x+1,y–2)(3)(x–1,y+2)(4)(x–1,y–2)(5)(x+2,y+1)(6)(x+2,y–1)(7)(x-2,y+1)(8)(x-2,y–1)限制条件:1.1=x’=n,1=y’=m;(n:棋盘的高度,m:棋盘的宽度);2.(x’,y’)必须是棋子记录表中没有包括的新位置;3.棋子走子过程记录表中没有包括棋盘上的所有可以落子的位置;对这个过程不停迭代的过程也就是对解空间搜索的过程,搜索直到棋子走子记录表中包括棋盘上的所有可以落子的位置,就搜索到了一条可行的路径,路径包括棋盘上的所有落子点;或者搜索完整个解空间,仍然找不到一条可行的解,则搜索失败;下面我们举例来说明搜索的过程;棋盘大小:5*5棋子起始位置:(3,3)搜索过程:(1)从当前位置(3,3)出发可以有8个新的位置选择;首先选择新位置1,将新位置1作为当前棋子位置,开始新的搜索;如果搜索不成功,则搜索回退,选择新位置2,以此类推,就可以搜索完整个解空间,只要从该问题有解,则可以保证一定可以搜索到;2)从新位置1开始新的搜索,可以选择的新位置有两个,先选择位置1,从位置1开始新的搜索;(3)下图是经过18步搜索之后的状态,从位置18出发,已经没有没走过的新位置可以选择,则搜索失败;搜索回退到17步,从位置17开始搜索除了18之外的新位置,从图上可以看出已经没有新位置可以选择,继续回退到16步,搜索除了17的新位置;以此类推.知道搜索完整个解空间,或者搜索到一个可行解;(4)下图展示了搜索成功的整个搜索过程;系统设计一.用例图二.类设计三.顺序图四.核心算法设计通过上面的分析,我们现在可以将算法的大概框架写出来了,具体的代码请参考本文章后面的源程序;下面我们先列出了经典回溯算法的框架;由于考虑到程序实现的方便性,所以本文中采用的回溯算法对经典算法进行了适当的修改;经典算法:voidBackTrack(intt){if(tn)OutPut(x);elsefor(intI=f(n,k);i=g(n,k);i++){x[t]=h(i);if(ConsTraint(t)&&Bound(k))BackTrack(k+1);}}本文采用的算法:boolSearch(LocationcurLoc)//开始计算;{m_complex++;//修改棋盘标志;m_chessTable[curLoc.x-1][curLoc.y-1]=1;//是否搜索成功结束标志;if(isSuccess())returntrue;//还有未走到的棋盘点,从当前位置开始搜索;else{//递归搜索未走过的棋盘点;for(inti=0;i8;i++){LocationnewLocation=GetSubTreeNode(curLoc,i);if(isValide(newLocation)&&m_chessTable[newLocation.x-1][newLocation.y-1]==0){if(Search(newLocation)==true){//填写记录表;MarkInTable(newLocation,curLoc);returntrue;}}}}//搜索失败,恢复棋盘标志;m_chessTable[curLoc.x-1][curLoc.y-1]=0;returnfalse;}测试数据和测试结果(1).测试数据1:棋盘大小棋子起始位置(1,1)(4,4)(2,3)略…搜索到的可行解无无无无搜索解空间大小22232223501略…结论:对于4*4和小于4*4的棋盘,此问题无可行解;(2).测试数据2:棋盘大小:5*5棋子起始位置:(1,1)搜索解空间大小:76497搜索结果图示:棋子起始位置:(3,3)搜索解空间大小:11077搜索结果图示:结论:对于5*5的棋盘,此问题有可行解,搜索解空间大小随棋子的起始位置不同而不同,从某些位置起始搜索,此问题可能没有可行解;(3).测试数据3:棋盘大小:6*6棋子起始位置:(4,2)搜索到的可行解:2029720结果图示:(4).测试数据4:棋盘大小:7*7棋子起始位置:(3,3)搜索解空间大小:12799463结果图示:结论通过多组数据的测试,我们发现当棋盘的高度height=5,宽度width=5的时候,该棋盘问题的解空间比较小,本文采用的算法可以在很短的时间内搜索完整个解空间;当棋盘为5*5大小,整个解空间大小为1829421=2(21);由于棋盘和棋子的一些特点(如:棋子从当前位置出发只能到达棋盘上的某些特殊点,而且这些点必须不包含在走子记录表中),这就给分析棋盘算法的时间复杂度带来了一些困难,我们只能通过不同大小棋盘的特点来大概分析算法的时间复杂度,通过实际的测试(在棋盘大小为5*5),估算的时间复杂度与实际的复杂度基本在一个数量级;上图是一个5*5大小的棋盘,方框所在的位置(3,3)出发可以到达的点有8个,而下次从8个新的搜索点出发平均能到达的有2个点,还有25–1–8=16个点,16个点中除去4个点就剩一般的点没有走过,从这4个点出发,可以到达的新的搜索点平均有2个,当棋盘上的一半以上的点全都走过,则从剩余的12个点出发可以到达的新的搜索点平均只有1;通过上面的分析,我们可以得出Space(5*5)=8*pow(2,8)*pow(2,4)*12=pow(2,20);同理,我们可以对棋盘大小为8*8的解空间大小进行估算;当然估算当中的一些特殊点的选择是需要一些技巧和实际经验的,虽然最终结果可能不准确,但是能够保证基本在一个数量级上;Space(8*8)=pow(4,8)*pow(4,4)*pow(2,20)*pow(2,32);可以看出,解空间是相当大的,我们假设计算机每分种搜索300万步,对于棋子”马”给定一个起始位置,要想证明此问题无解,则需要搜索的时间为(下面数字均为估计值):Time(8*8)=Space(8*8)/300万=pow(2,76)/300万=pow(2,62)分钟=pow(2,56)天=pow(2,47)年=128亿年注:pow(x,y)代表x的y次方;可见要搜索完一个大小为8*8棋盘问题的全部解空间是根本不可能的;算法的时间复杂度为pow(2,n),是个NP难解问题