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平行线平行线的性质第2课时平行线的判定和性质的综合应用1课堂讲解平行线性质的应用平行线判定的应用平行线的性质和判定的综合应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业复习回顾平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．•复习同位角，内错角，同旁内角1，两直线被第三直线所截,构成的八个角中，位于两直线（被截直线）同一方、且在第三直线(所截直线）同一侧的两个角，叫做同位角.2两直线被第三直线所截,构成的八个角中，位于两直线（被截直线）内、且在第三直线(所截直线）同一侧的两个角，叫做同旁内角。3.两直线被第三直线所截,构成的八个角中，位于两直线（被截直线）同一方、且在第三直线(所截直线）两侧的两个角，叫做内错角F13752486DCABE1、观察右图并用所标出的角填空：(1)∠1与是同位角;(2)∠5与是同旁内角;(3)∠1与是内错角;bam14n235∠4∠3∠2∠1和∠2不是同位角，2.如图中的∠1和∠2是同位角吗?为什么?1212∠1和∠2是同位角，练一练1.如图，∠1和∠2是同位角的是（）12121212(A)(B)(C)(D)D练一练•1．若∠1与∠2是内错角，且∠1=60°，则∠2是()•A．60°B．120°C．120°或60°D．不能确定1知识点平行线的性质的应用下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？知1－讲例1知1－讲因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互.补于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.解：判定两直线平行的方法：2、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补，两直线平行。1、同位角相等，两直线平行。ABCD31(1)已知∠1=43°∠3=137°AB∥CD吗？说明理由。2例1：456知1－讲例2如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，先求∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内角互补求得∠EGB＝100°.解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．∴∠A＋∠B＝180°，知1－讲∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)．∵∠EFG＝50°(已知)，∴∠DEF＝50°(等量代换)．∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)，∴∠D′EF＝50°(等量代换)．∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．又∵AD∥BC，∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.知1－讲总结知1－讲解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．1如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于()A．35°B．40°C．45°D．50°知1－练B已知：如图直线a、b被直线c所截，且∠1+∠2=180°。说明：a∥b。你有几种说明方法？4方法1：∵∠1+∠2=180°∴∠2=∠4∠1+∠4=180°∴a∥b（同位角相等,两直线平行）小结2【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（）A．90°B．85°C．80°D．60°知1－练A3【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．55°知1－练A2知识点平行线的判定的应用知2－讲例3如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.试问CD与EF平行吗？为什么？知2－讲导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A说明．2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行就可得到CD∥EF.知2－讲解：CD∥EF，理由：∵∠B＝∠D，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．∵∠CEF＝∠A，∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．总结知2－讲找寻说明平行的方法：1.分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)2.综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件能推出什么结论,一直推导出要说明的结论为止;(如导引2)3.两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．知2－讲例4光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空气与水的分界面．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3，请你判断光线c与d是否平行？为什么？知2－讲导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错角相等，两直线平行”即可判定c∥d.知2－讲解：c∥d.理由如下：如图，设光线在水中的部分为e.∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，∠2＝∠3，∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．又∵∠1＝∠4，∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．总结知2－讲判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此，问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.1如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是________．知2－练平行1【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°知2－练A3知识点平行线的性质与判定的综合应用知3－讲平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．分类条件结论平行线的判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补平行线的性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补知3－讲例5如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此只需说明∠ABC＝∠BCD即可．知3－讲解：∠P＝∠Q.理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．总结知3－讲一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．1如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为（）A．3B．4C．5D．6知3－练B2【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是（）A．80°B．85°C．95°D．100°知3－练B两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质线的关系角的关系性质角的关系线的关系判定平行线的判定与平行线的性质的关系：1知识小结如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．2易错小结解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补，理由如下：如图①，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC.∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.∴∠ABC＝∠DEF.如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种情况．易错点：画图考虑不周导致漏解.如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．