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高中数学问题教学法教学案例——直线的斜率（1）史春生一、案例背景《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。二、案例过程（一）、创设情境，引入课题师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关?课件：生：与坡的平缓和陡有关。师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。先请同学们来观察下面两幅图片：课件：如图是两张不同的楼梯图。问题1：其中的楼梯有什么不同？生：楼梯的平缓和陡程度不同。问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？（提示：观察楼梯下面两个三角形）生：用高度和宽度的比值来反映。师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。坡度宽度高度即:所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。（二）、归纳探索，形成概念1．借助模型，直观感知课件：给出一个楼梯模型楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？（对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答）2．通过探究，形成概念师：研究直线的倾斜程度可以借助直角坐标系。（师生共同探究，得出直线的斜率严格的定义，板书定义。引导学生找出定义中的关键）QMMP宽度高度直线的倾斜程度，这个比值就叫直线的斜率。（常用字母K表示）QMMPK:即〖设计意图〗使学生体会通过实际问题如何抽象出具体的数学概念的数学过程。（三）、掌握概念，适当延展问题4：如何用点的坐标形式来表示斜率呢？已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线PQ的斜率为：级宽级高xyoPMQyx0Q(x2，y2)P(x1，y1)yyy12xxx121212xxyyK横坐标增量纵坐标增量xy（斜率的几何意义）〖设计意图〗把对直线的斜率的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识。问题5：直线斜率会因为点取的不同而改变吗？生：另取两点说明问题（不会改变）问题6：是不是所有的直线都有斜率？（一些学生说是的，一些学生说不是的。叫了一个说不是的学生发表一下支持自己观点的理由）生：垂直于x轴的直线斜率不存在。1.让学生分析、解决问题课件：例1．如图直线l1,l2,l3,l4都经过点P(2,3)，又l1,l2,l3,l4分别经过点Q1(-2,1),Q2(4,1),Q3(5,3),Q4(2,5),讨论l1,l2,l3,l4斜率是否存在,如果存在,求出直线的斜率。（学生板演，然后由学生评价。给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班讨论、分析，达成共识）教师强调书写格式和注意点。然后引导学生小结：已知不垂直于x轴的直线上任意两点就可以求出斜率。2．分别通过代数和几何角度研究直线的斜率例2：经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为①0，②不存在，③21，④32解：①过(3，2)，(0，2)画一条直线即得。②过(3，2)，(3，0)画一条直线即得。③（法一：待定系数法）设直线上另一个点为（x,0），则：所以过点(3，2)和(2，0)画直线即可说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点。(法二：利用斜率的几何意义)0yxPQ3Q4Q2Q1l1l2l3斜率不存在K1=1/2K2=-1K3=0l42302xk2x根据斜率公式xyK，斜率为2表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），再向上平移2个单位后得到点（4，4），因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即得。④将点(3，2)向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点(6，0)，过(3，2)和(6，0)画直线即为所求。〖设计意图〗初步掌握代数和几何角度求直线的斜率的方法和步骤。用代数方法研究图形的几何性质，培养学生数形结合的数学思想。（四）、归纳小结，提高认识教师小结：(1)直线的斜率:定义、斜率公式、几何意义、求法。(2)斜率是反映直线的倾斜程度，在同一条直线上任何不同的两点所确定的斜率相等。(3)直线的斜率公式的应用,体现了平面解析几何的本质是:用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。（由于时间不够，也没能由学生做课堂小结）三、案例分析（一）本节课的设计分析1、教学难点的确定过两点的直线斜率的计算公式的推导．2、教学目标的确定根据本课教材的特点、新课标对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面确定了教学目标．（1）知识与技能：理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围．（2）过程与方法：从生活实际出发，引导学生探索直线的斜率的概念，渗透数形结合的思想方法，；通过对直线的斜率概念的研究，培养学生的主动探究知识、合作交流的意识;培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。提高学生的观测、探究、分析问题、解决问题的能力.（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．通过课堂教学培养学生的数行结合的美感与严谨治学的生活态度.3、教学方法和教学手段的选择本节课是直线的斜率第一节课，采用教师设问启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体课件来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．4、教学过程的设计针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：（1）课题引入阶段：提出的问题符合学生的生活经验，能引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力。通过图形的直观感觉，给学生直线的斜率的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然地导入课题。（2）定义探究阶段：重视课堂问题的设计。围绕四个问题，对定义进行探究，层层深入，发动学生，积极思考，最终形成概念．（3）概念应用阶段：直线的斜率定义应用设计例1，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，充分暴露思维中的缺点，最后由学生总结出问题。（二）本案例课堂教学的特点1．重视课堂提问的设计,激发学生的求知欲。2．体现了学生的主体性，提高了学生学习的主动性。3.注重引导学生主动探究,建构新知。重视概念形成的过程，注重培养学生的数学思维能力。4．重视交流合作，培养学生的合作精神。（三）本案例课堂教学引发的思考这是一节市级范围内的公开课。市教研员也给予了较高的评价。上完课我的感觉很好，在这个班的教学效果可以说是非常好的。学生的作业完成得也很好。但在第一个班级上课，由于时间控制得不好，讲到例2③(法二：利用斜率的几何意义)时，缩短了给学生独立思考的时间，没有让学生充分地展示他们的一些想法，怕时间不够，我自己给学生做了详尽的分析和解答，该强调的也都强调了。但作业一反馈过来，比这个班差好多！可以说，这给了我一次震撼：我多讲是没有用的，把知识强加给学生，只是我的一相情愿，学生并不会因为我讲得有多而掌握的好。我深深感到，教学非以学生为主体不可。教学以学生为主体，要求教师在课堂教学中，得根据学生已有的认知状态和生活经验,设计一系列的问题,让学生在独立思考、合作交流、自主探索的过程中主动去发现、建构新知识,获得对数学学习的积极体验。探究活动比较费时间，我有时一发现个别学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程。或者学生不能很好地回答我的提问时，我怕时间不够，就自己讲出答案。如何正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾呢？这个也是我从本案例课堂教学引发的另一个思考。