2019·学而思-创新体系寒春补录诊断·数学·八年级(解析版)

《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学绝密★启用前《2019年寒春创新体系补录诊断》试卷·数学年级：八年级考试时间：120分钟总分：150分考生须知1．请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。2．请将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效。3．考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交。一、填空题：本大题共15小题；每小题7分，共105分；1.方程1112002xy的正整数解构成的有序组,xy共有________组.【分析】原方程转化为2002xyxy，2200220022002xy；因为x、y为正整数；所以2002x、2002y是大于2002的整数；所以2002x、2002y同号，且至少有一个绝对值不大于2002；所以2002x、2002y必须是22002的正约数；所以方程1112002xy的正整数解,xy可写成220022002,2002dd，d为22002的正约数；把22002分解质因数：222222002271113；所以22002有81个正约数；所以方程1112002xy的正整数解构成的有序组,xy共有81组.2.已知正整数n小于2006，且362nnn．则这样的n有_________个.【分析】334个3.求值：1231989199012319891990__________.【分析】39561214.已知正实数xyz，，满足222222222xyxyayzyzbzxzxc其中abc，，为非负常数，则xyyzxz__________.2《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学【分析】222222222122122122xyaxyyzbyzzxczx13sin120424ABCabcabcabcabcSxyyzxzxyyzxz∴33xyyzxzabcabcabcabc5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，联结BE交AC于F，联结FD，若90BFA，则下列四对三角形：①BEA△与ACD△；②FED△与DEB△；③CFD△与ABG△；④ADF△与CFB△；其中相似的为．【分析】①②③①找到两对角相等即可得到相似；②由射影定理得到22EFEBAEED，DEFBED，得到FEDDEB△∽△；③ADBC∵∥，12AFAEFCBC∴，13AFAC∴，由射影定理得到22213CDABAFACAC，而22121233CGCFACACACCD，DCGFCD∵，FDCDGC∴△∽△，AGBFDC∵△≌△，CFDABG∴△∽△④明显90AFD，不可能相似.6.在ABC△中，BCa，ACb，ABc，90C，CD和BE是ABC△的两条中线，且CDBE．则::abc________．【分析】联结DE，设BE与CD相交于G，则G为ABC△的重心，2CGDG．由已知，RtCDE△中，EGCD，故由射影定理，得222CECGDEDG，因此2CEDE；GABCDEFEDABCGEDABC《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学故11222ba，即2ba，由勾股定理可知，::1:2:3abc．7.用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数，若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第________个数.【分析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504A种排列方式．由乘法原理，有45042016个．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756A，由乘法原理，有1556280个．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742个．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343个，故5687是第2344个四位数．8.由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有_________种.【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有44432124A种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有23326A种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法．由乘法原理，一共有2463432种不同的编排方法．9.已知关于x的方程21210axxa的根是整数，那么符合条件的整数a有_______个.【分析】当10a，1a时，原方程化为220x，1x满足原方程的根是整数．当10a，1a时，原方程化为1110xaxa；所以原方程的根是1x或12111axaa；因为原方程的根是整数；所以1|2a；所以12a或1或1或2；3a或2或0或1．综上所述，1a或0或1或2或3，即符合条件的整数a有5个．10.已知方程222238213150axaaxaa（a是非负整数）至少有一个整数根，则a_________．【分析】当0a时，原方程无解．当0a时，原方程是关于x的一元二次方程，因式分解得2350axaaxa，所以23axa或5aa；当2332axaa时，1a或3；4《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学当551axaa时，1a或5；综上所述，1a或3或5．11.已知234232332abcbcacab，则2332abcabc_____．【分析】设2341232332abcbcacabk，则有232923311324abckbcakakcabk，811bk，111ck故2343231abcabc．12.已知关于x的241xxa有一个增根是4x，则a_________．【分析】移项，得241xxa方程两边同时平方，得2412xxaxa移项，化简得25xaxa方程两边同时平方，得24()(5)xaxa把4x代入上式得，5,3aa若3,a原方程为2431xx此时代入4x可发现“左边=右边”说明4x是方程的根而不是增根，与题意不符，故需舍去．所以5a．13.若方程2310xx的两根、，也是方程620xpxq的根，其中p、q均为整数．则pq_______．【分析】因为、是方程2310xx的两个根；2341150；所以由Viete定理，得3，1；；222223217；22442222272147；因为、是方程620xpxq的根；所以626200pqpq；因为，所以664422222442222224714817711pq．55pq.14.不超过1000的正整数x，使得x和1x两者的数字和都是奇数．则满足条件的正整数x有_________个．《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学【分析】设xabc，其中019abc，，，，，，且不全为0．Sxabc是x的数字和．⑴若9c，则Sxabc，11Sxabc；⑵若9c，9b，则9Sxab，11Sxab；⑶若9c，9b，9a，则99Sxa，11Sxa；⑷若9a，9c，9b，则27Sx，11Sx．奇偶性相同的只有⑵和⑷．在⑵中，ab，的奇偶性相同，有45个x满足题意．在⑷中，有一个999x满足题意．所以，共有46个．15.三个正方形如图排列，AC、AD、AE为三条对角线，则123________．【分析】作如图中的三个正方形，联结AM，EM．易证24，AEM△是等腰直角三角形∴45AEM，即3445∴2345又∵145∴12390二、解答题：本大题共3小题；每小题15分，共45分；16.如图，PAPB、切O⊙于AB、两点，过P作割线交O⊙于CD、，过B作BECD∥，连接AE交PD于M，求证：M为DC的中点．【分析】联结OAOMOP、、，∵BECD∥，∴AMCE，∵PAPB、都是切线，∴AOPBOP，∴AOPAEB，∴AMPAOP，∴AMOP、、、四点共圆，∴90OMPOAP，∴M是DC的中点．17.证明：2232112xxyy无整数解.【分析】原方程乘以4，可得：321EDCBAM4321EDCBAMEOPDCBAABCDPOEM6《2019年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学2222(23)17448(23)174486(mod17)xyyxyy而2(23)0,1,2,4,8,9,13,15,16(mod17)xy故无解18.试确定一切有理数r，使得关于x的方程2(2)320rxrxr有根，且只有整数根.【分析】0r时满足条件0r时，1221xxr，1223xxr∴12124xxxx12115xx故1226xx，或1204xx，此时29r或23r∴22093r，，