目标规划-(运筹学)

第四章目标规划GoalProgramming4.1目标规划问题及其建模4.2目标规划的图解法4.3目标规划的单纯形法4.4目标规划应用第2章单纯形法2引例4-1某企业计划生产甲、乙、丙三种产品，需要在两种设备A、B上加工，消耗C、D两种原料，有关数据见下表。第4章目标规划3甲乙丙现有资源A（设备）312200B（设备）224200C（原料）451360D（原料）235300利润（元/件）403050设分别为甲、乙、丙的产量，则利润最大的线性规划模型为：线性规划最优解为X*=（50，30，10）Z*=3400第4章目标规划4321,,xxx0,,3005323605420042220023..503040max321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxtsxxxz决策者考虑以下实际目标：利润不少于3200元产品甲的产量不超过产品乙的产量的1.5倍提高丙的产量达到30以上设备加工能力不足时可以加班，但最好不加班原料只能使用现有的原料。企业如何制定生产计划，才能实现决策者的目标？第4章目标规划5如果用线性规划求解，模型如下：该线性规划模型无可行解。0,,30053236054200422200233005.13200503040..503040max321321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxz--6--线性规划：单一目标，最优解目标规划：多目标、优先次序、满意解目标规划（GoalProgramming）研究企业考虑现有的资源条件下，在多个目标中去寻求满意解，使得完成目标的总体结果与事先制定目标的差距最小。目标规划是按事先制定的目标顺序进行检查，尽可能使目标达到预定的目标，即使不能达到目标也要使得偏离目标的差距最小，也就是求得满意解。（1）设置偏差变量，表明实际值同目标值之间的差异d+,d-分别为正、负偏差变量,d+表示实际值超过目标值部分；d-表示实际值未达到目标值部分；d+和d-两者中必定至少有一个为零。（2）绝对约束和目标约束绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，也称硬约束。目标约束：允许发生正或负偏差，也称软约束。第4章目标规划7--第4章目标规划--目标值d1-d1+实际值实际值∴d1-·d1+=0∵d1-0，d1+0正偏差变量负偏差变量（3）优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次和轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2,规定PkPk+1，k=1,2,…,K。（4）目标规划的目标函数每当一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值，因此目标规划的目标函数只能是minZ=f(d+,d-)。其基本形式有三种：①恰好达到目标值，正、负偏差变量都尽可能地小，minZ=f(d+,d-)②不超过目标值，正偏差变量要尽可能地小，minZ=f(d+)③超过目标值，负偏差变量要尽可能地小，minZ=f(d-)第4章目标规划9例4-1用目标规划表示的模型为其满意解为X=（28，20，30），d1+=20，d2-=2，d4-=36，d5+=16，其余变量为零。第4章目标规划10030053236054200422200233005.13200503040..min32132132155321443213332221113215444332211xxxxxxxxxddxxxddxxxddxddxxddxxxtsdPdPdPdPdPz决策者考虑以下实际目标：利润不少于3200元产品甲的产量不超过产品乙的产量的1.5倍提高丙的产量达到30以上设备加工能力不足时可以加班，但最好不加班原料只能使用现有的原料。企业如何制定生产计划，才能实现决策者的目标？目标规划的数学模型的一般形式为其中：Pl为第l级优先因子，l=1,…,L;-lk，+lk为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数。gk为第k个目标的预期目标值，k=1,…,K。第4章目标规划11KkddnjxKkgddxcmibxatsddPzkkjkkknjjkjinjjijKkklkklkLll,,10,,,10,,1,,1..min1111，第4章目标规划12ⅠⅡ拥有量原材料(kg)设备(hr)21121110利润(元/件)810（1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，故考虑产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ。(2)超过计划供应的原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度增加(3)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。(4)应尽可能达到并超过计划利润指标56元。决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求决策方案。--第4章目标规划----13--3,2,1,0,,,561081020112)(min21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPzii满足约束条件：目标函数：①②③④当目标规划问题中只包含两个决策变量时，可以用图解法进行求满意解。目标规划图解法的计算步骤如下：（1）对所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。（2）确定第一优先级P1级各目标的解空间R1。（3）转到下一个优先级PJ级个目标，确定它的“最佳”解空间RJ。（4）在求解过程中，若解空间RJ已缩小为一点，则结束求解过程，因为此时已没有进一步改进的可能。（5）重复第（3）步和第（4）步过程，直到解空间缩小为一点，或者所有L个优先级都已搜索过，求解过程也告结束。第4章目标规划14例4-2用图解法求解下列目标规划问题第4章目标规划1511223344112111222123324412min(53)2629242,,,01,2,3,4iizPdPdPddPdxxddxxddxxddxddxxidd解：所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。P1、P2的目标实现后，x1,x2的取值范围为ABCD。考虑P3的目标中d3-尽量小的要求后，x1,x2的取值范围缩小为ABEF区域；然后考虑，在ABEF中无法满足d4-=0,因此只能在ABEF中取一点，使d4-尽可能小，这就是E点。故E点为满意解。其坐标为（13/2，5/4）。X=（x1，x2）=（13/2，5/4），Z=9/4P3+3P4第4章目标规划16--第4章目标规划----17--3,2,1,0,,,561081020112)(min21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPzii求解线性规划的单纯形法的过程基本一致，只是在检验数处理时，需要考虑优先次序的影响。而且，目标规划的目标函数是求最小化，所以当检验数均为大于等于零时为满意解。例4-3用单纯形法求解例4-2第4章目标规划18Step(0):初始单纯形表第4章目标规划19Step(1):x2入基，d4-出基Step(2):d4+入基，d1-出基第4章目标规划20Step(3):x1入基，d4+出基Step(4):d4-入基，d3-出基第第4章目标规划21Step(5):d1+入基，d2-出基这时，所有非基变量的检验数都大于零，所以有唯一最优解。X*=（13/2，5/4）Z*=9/4P3+3P4例4-4利用Excel求解目标规划问题。某工厂要生产两种新产品：门和窗。生产所需的时间如下表所示。根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？其最优解为：X*=（x1，x2）=（2，6）Z*=3600第4章目标规划22车间单位产品的生产时间每周可以获得的生产时间（小时）门窗11042021233218单位利润（元）300500现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标：（1）根据市场信息，窗的销售量有下降的趋势，故希望窗的产量不超过门的2倍；(希望≤)（2）由于车间3有另外新的生产任务,因此希望车间3节省4个工时用于新的生产任务;(希望＝)（3）应尽可能达到并超过计划的每周利润3000元。（希望≥）第4章目标规划23则目标规划模型为：11222331212211112Minz()42123218s.t.2032PdPddPdxxxxxxddxx22123312143005003000,0,,0(1,2,3)iiddxxddxxddiExcel电子表格求解目标规划是按照优先级渐进的。假设三个目标优先级依次为（1）（2）（3）。由于有三个目标优先级（P1，P2，P3），所以要分三步完成：第1步：首先保证P1级目标的实现，这时不考虑其他次级目标。优先级1的数学模型为：第4章目标规划2411121221111222123312112233Minz42123218s.t.2032143005003000,,,,,,,0dxxxxxxddxxddxxddxxdddddd第4章目标规划25第2步：在保证P1级目标实现的基础上考虑P2级目标。优先级2的数学模型为：第4章目标规划262221212211112221233112112233Minz4212321820s.t.321430050030000,,,,,,,0ddxxxxxxddxxddxxdddxxdddddd第4章目标规划27第3步：在保证P1级和P2级目标实现的基础上考虑P3级目标。优先级3的数学模型为：第4章目标规划2833121221111222123312212112233Minz4212321820s.t.3214300500300000,,,,,,,0dxxxxxxddxxddxxdddddxxdddddd第4章目标规划29第三次求得的解只能使d3-=400，可见在实现了前两个优先级的目标基础上，优先级3的目标不能实现。总之，根据已知目标排序得到的满意解为：（x1，x2）=（2，4）Z*=2600需要注意的是：优先目标规划是渐进的，每次的模型都不同。目标优先次序改变时，满意解可能发生变化。第4章目标规划30