多元函数积分习题

1/19第八章多元函数积分学【内容提要】1.二重积分的定义(1)二重积分的定义设函数),(yxf在有界闭区域D上连续，将区域D任意分成n个小区域),,2,1(nii，并以i表示第i个小区域的面积。在i上任取一点),(ii，作乘积iiif),(并求和式niiiif1),(。如果最大小区域的面积趋于零时该和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在区域D上的二重积分(doubleintegral)，记作Dyxfd),(，即个人收集整理勿做商业用途niiiiDfyxf10),(limd),(这是从曲顶柱体的体积与平面薄片的质量两个实际问题抽象出来的。(2)直角坐标系下二重积分的表达式由于面积元素i在区域D上的划分可以任意，用平行于x轴和y轴的直线来划分区域D，此时yxddd，则DDyxyxfyxfdd),(d),(2.二重积分的计算(1)直角坐标系下二重积分的计算通过讨论计算曲顶柱体的体积，推导出将二重积分化为二次定积分的乘积。具体计算公式为baxxDyyxfxyxx,yf)()(21d),(dd)d(dcyyDxyxfyyxx,yf)()(21d),(dd)d(利用公式计算时，关键是根据题意画出积分区域D，然后确定积分顺序，以最简便为原则。2/19(2)极坐标系下二重积分的计算利用微元法，即用“近似、求和”方法，推得在极坐标系下二重积分的公式drd)sin,cos(d)d(rrrfyxx,yfDD凡是积分区域是圆域、扇形域、环形域等区域，被积函数如)(22yxf的二重积分，采用极坐标计算可使问题大为简化。3.曲线积分(1)对弧长的曲线积分采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，通过讨论曲线弧段上的质量分布，得到对弧长的曲线的定义式，即个人收集整理勿做商业用途niiiiLsfsyxf10),(limd),(对弧长的曲线积分中，虽然被积函数是),(yxf，但由于点),(yx被限定在曲线弧L上，故x、y只有一个独立变量。利用L的方程可消去一个变量，将曲线积分化为定积分来计算。具体有四种情形：个人收集整理勿做商业用途22(,)d(),()dLfxysfttxxt其中L：)(tx，)(ty)(tbaLxxgxgxfsyxfd1)(,d),(2其中L：)(xgy)(bxa2(,)d(),1ddLcfxysfhyyhyy其中L：)(yhx)(dyc222(,,)d(),(),()dLfxyzsftttxxxt其中：)(tx，)(ty，)(tz)(t(2)对坐标的曲线积分通过对变力沿曲线做功问题的讨论，采用对弧长曲线积分类似的方法，得到对坐标的曲线积分的定义式，即3/19d),(d),(LyyxQxyxP),(),(lim10niiiiiiiyQxP对坐标的曲线积分中，),(yxP，),(yxQ中点),(yx同样限定在曲线L上，故x，y也只有一个是独立变量，也可将曲线积分化为定积分。具体有四种情形：个人收集整理勿做商业用途d)}()](),([)()](),([{d),(d),(ttttQtttPyyxQxyxPL其中)(tx、)(ty)(tbaLxxgxgxQxgxPyyxQxyxPd)()](,[)](,[d),(d),(其中)(xgy)(bxadcLyyyhQxhyyhPyyxQxyxPd]),([)(]),([d),(d),(其中)(yhx，yy()cydΓzzyxRyzyxQxzyxPd),,(d),,(d),,(tttttRttttQttttPd)()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([其中)(tx，)(ty，)(tz)(t4.格林公式在以L为边界的简单闭区域上具有连续的一阶偏导数，由二重积分并根据曲线的性质和计算方法，可推得二重积分对坐标的曲线积分的关系，即格林公式：个人收集整理勿做商业用途yxyPxQyyxQxyxPDLddd),(d),(若取格林公式的特殊情况，可得到计算平面圆形的面积公式：xyyxLdd21在实际应用中，利用格林公式可将闭合路径L上的曲线积分转化为在L所围成的区域D上的二重积分；反之，也可将在D上的二重积分转化为在D的边界L上的曲线积分。另外还可计算区域D的面积。个人收集整理勿做商业用途由格林公式可以推得曲线积分在D内与路径无关。即沿D内任意闭合曲线的曲线积分为零的充要条件是：4/19xQyP5.重点解析本章重点讨论二元函数的积分学。讨论过程中要时刻与一元函数的定积分时的思路、性质、方法作对比。在一元函数中，定义域仅在x轴上，而二元及以上函数的定义域是平面或空间区域，对应的图形是空间的曲面或空间体。在二重积分中首先要根据已知条件画出区域D，然后选择最简便的积分顺序，最后进行二次定积分。在曲线积分中要明确要求，利用对弧长和对坐标的积分公式进行计算。个人收集整理勿做商业用途定积分、二重积分、二种曲线积分之间有一定的联系，都是和式的极限。定积分是区间上某种和式的极限；二重积分是区域上某种和式的极限；曲线积分是曲线弧段上某种和式的极限。在一定条件下，二重积分可以转化为二次定积分；可以将二种曲线积分转化为一次定积分，从而，解决了二重积分和曲线积分的计算问题。另外，格林公式揭示了二重积分与对坐标的曲线积分的关系，给出了对坐标的曲线积分与路径无关的条件，使之化为最简便的定积分的形式。个人收集整理勿做商业用途【习题解答】8-1将二重积分Dyxfd),(化为二次积分，积分区域分别为(1)D为1yx，1yx，0x围成的区域；(2)D为ax，ax2，by，2by(0a,0b)围成的区域；(3)D为4)3()2(22yx围成的区域；(4)D为122yx，xy，0x围成的区域；(5)D为2xy，24xy围成的区域。解(1)区域D为x-型区域，即有yyxfxyxfxxDd),(dd),(1110(2)区域D为既是x-型又是y-型区域，故有5/19aabbbbaaDxyxfyyyxfxyxf2222d),(dd),(dd),((3)区域D为既是x-型又是y-型区域，即有xyxfyyyxfxyxfyyxxDd),(dd),(dd),(2222)3(42)3(4251)2(43)2(4340(4)区域D为x-型，即有yyxfxyxfxxDd),(dd),(21220xyxfyxyxfyyyd),(dd),(d2102200122(5)区域D为既是x-型，即有yyxfxyxfxxDd),(dd),(22422xyxfyxyxfyyyyyd),(dd),(d4420428-2更换下列二次积分的次序。(1)yyxyxfy10d),(d；(2)21011d),(dxyyxfx；(3)yyxyxfy210d),(d；(4)1201d),(dyxyxfy；(5)yyxfdxxed),(ln01；(6)xxxxyyxfxyyxfx24110d),(dd),(d。解(1)积分区域D：10x，xyx2，则更换后的二次积分为xxyyyyxfxxyxfy10102d),(dd),(d(2)积分区域D：2211yxy，10y，则更换后的二次积分为22211101011d),(dd),(dyyxxyxfyyyxfx(3)积分区域1D：10x，xy0，2D：21x，xy20，则更换后的二次积分为xxyyyyxfxyyxfxxyxfy-2021010210d),(dd),(dd),(d6/19(4)积分区域D：21x，01yx，则更换后的二次积分为xyyyxfxxyxfy-10211201d),(dd),(d(5)积分区域D：exey，10y，则更换后的二次积分为xyxfdyyyxfdxeexeyd),(d),(10ln01(6)积分区域D：22yxy，21y，则更换后的二次积分为xyxfdyyyxfxyyxfxyyxxxxd),(d),(dd),(d2212411028-3计算下列二重积分。(1)Dyxxydd，D是xy与2xy围成的区域；(2)Dyxyxdd)(2，D是2xy与2yx围成的区域；(3)确定常数a，使1dd)sin(Dyxyxa，D是xy，xy2，2x围成的区域；(4)Dyxxdd，D是以)0,0(，)2,1(，)1,2(为顶点的三角形区域；(5)Dyxyxfdd),(，D是xyx222，1x，2x，xy围成的区域，设其他,00,21,),(2xyxyxyxf；(6)Dyyxedd2，D是以)0,0(，)1,1(，)1,0(为顶点的三角形区域；(7)Dyxyxdd)(22，D是0x，0y，x与xysin围成的区域。解(1)积分区域既是x-型又是y-型区域，则先对x和先对y积分均可，若选择先x后y积分，则将区域D看作y-型区域，故有D：yxy，10y，个人收集整理勿做商业用途10210d21ddddyyxxxyyyxxyyyyyD241413121d212110431032yyyyy7/19(2)积分区域既是x-型又是y-型区域，则先对x和先对y积分均可，若选择先x后y积分，则将区域D看作y-型区域，故有D：yxy2，10y，个人收集整理勿做商业用途Dyyyyyyxxxyxyyxyx1032102d31)d(ddd)(221403341211158d3134104725103623yyyyyyy(3)积分区域是x-型区域，故有D：20x，xyx2202220d)cos(d)sin(ddd)sin(xyxayyxaxyxyxaxxxxDaxxaxxxa313sin312sin21d)3cos2(cos2020则3a(4)积分区域既不是x-型又不是y-型区域，故分割区域D成两部分，即1D：10x，xyx22；2D：21x，xyx32，则xxxxDDDyxxyxxyxxyxxyxx32212210dddddddddd2123212321d233d232132103212102xxxxxxxx(5)积分区域是x-型区域，故有D：21x，xyxx22，则xxxDDyyxxyxyxyxyxf222122dddddd),(204945d)(d2121453214221222xxxxxxyxxxx(6)积分区域既是x-型又是y-型区域，则先对x和先对y积分均可，若选择先x后y积分，则将区域D看作y-型区域，故有D：yx0，10