第2章 天线理论基础

第二章天线理论基础陈曦讲师天线与微波技术重点实验室[e-mail]任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风——如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程？这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。第二讲电磁场基本方程本节课的任务：1、回顾、串讲电磁场方程；2、电磁场问题的基本求解方法和思路。研究天线问题，主要是两大问题：（1）辐射问题（2）阻抗问题辐射问题实质上是研究天线所产生的空间电磁场分布，以及由空间电磁场分布决定的天线特性。根据电磁场理论，空间任意点的电磁场满足Maxwell方程和边界条件。Maxwell方程描述了空间场与场之间，场与源之间关系的规律。引电磁场基本方程包括：Maxwell方程组边界条件电流连续性方程媒质特性方程电磁场波动方程1、Maxwell方程、电荷连续性方程、媒质特性方程Maxwell方程:微分形式、积分形式、时谐形式。微分形式：0ttttDHJBEBD物理意义：电流和位移电流都能产生磁场随时间变化的磁场能产生电场磁场是无源的，闭合的电场是有源的，源是电荷安培-麦克斯韦全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理库仑（高斯）定律总结：磁场能产生电场，电场能产生磁场，磁场是无源的，电场是有源的。随时间变化积分形式：()0tlslsssdldstdldstdsdsQDHJBEBD麦氏方程表明：不仅电荷能产生电场，电流能产生磁场，而且变化的电场也能产生磁场，变化的磁场又能产生电场。时谐形式：时谐场是空间和时间的函数(t)=(x,y,z,t)EE()()jtetReEE其中E是复振幅，jte——是时谐因子jte对t求偏导，jt可表示为0ttjjHDJEBDB偏微分方程变为代数方程，方程组更简洁、好记，◆其中各量仅是空间坐标的函数◆式中各量均是复矢量◆该方程的解通过下式可还原为时谐场()()jtetReEEttjJ0ttttDHJBEBDtttJtJJEDEBH代入Maxwell方程组'()jjEjHEJJtjHDJ'()j在电流连续性方程中，ttjJ对于天线问题，通常要解出天线周围空气中的场，即0'本构方程补充方程：0jjEHMHEJEHjJ其中M为假想的磁流源未知数减少了，在外加源条件下，解方程组并不能得到唯一解，而是一组解，因此要有限定条件，即边界条件。Maxwell方程组简化为2、边界条件111(,,)222(,,)ˆn过两种媒质的分界面，由于媒质参数发生突变，会使某些场量产生不连续。时谐场中一组充分的边界条件是2121ˆ()ˆ()ssnnEEMHHJtan2tan1tan2tan1ssEEMHHJ若一边为导电体，则边界条件变为tantan0sEHJ3、玻印廷定理（能量守恒方程）2()avsfdmaveavPPPjWW*012svPEJdv外部供给体积V内的平均功率*1()2fsPEHds通过封闭面s，从体积V内流出的平均功率。212davvPEdv体积V内的平均损耗功率21122mavvWHdv体积V内平均储存的磁能21122eavvWEdv体积V内平均储存的电能4、关于辐射问题的麦克斯韦方程的解1HA()0jEA根据“旋无散”jEA根据“梯无旋”jEA则待求电场为0B由可引入磁矢位A，有引入标量位Φ0A01HAjEAA位函数的求解：01jHEJA应用恒等式2()AAA220()jAAAJ得则式简化为220kAAJ这就是矢量波动方程，其中kjEA同时代入由求出A即可得到E：()jAEA波动方程是一个矢量方程，可通过分解为三个标量方程来求解。应用亥姆霍兹方程可直接得到其解''4jkRVedvRAJRrr'rrJ源点场点'V由已知场源求解场分布过程小结：''4jkRVedvRAJ第3讲电流元辐射场学习任务：（1）电流元-理想电偶极子（2）对偶原理，磁流源-理想磁偶极子（3）对称振子的电流分布和辐射场2.1理想偶极子——电流元一段载有高频电流的导线段，直径远小于长度，长度远小于λ，其上的电流均匀分布，又称为理想偶极子、电基本振子。等幅，同相线天线可认为是许许多多首尾相连的电流元组成，只要求得电流元的辐射场，利用电磁场叠加定理便可以求得整个天线的电磁场。一、电流元的定义电流元辐射场如何求解?线电流二、电流元的辐射场采用辅助函数法（矢位法）进行求解。JA1HA1()jEHJ4jkRVedvRAJJEH已知电流全电流定律0B=zRxyzro一个电流元，中心在原点，沿z轴放置，长度为Δz，其上电流为I。对于线电流dvdzIdzzJI则/2/2ˆ4zjkRzezIdzRAzRr4jkRVedvRAJ源点场点求解过程4jkrzIezzAzrA所以，积分后11ˆ()zAzHA()()()fgfgfg利用矢量恒等式111ˆˆˆzzzAzAzAzHˆ()4jkrIzezrH在球坐标系下11ˆˆˆsinggggrrrr2ˆˆˆˆ()()44jkrjkrjkrIzeIzjkeerzrzrrrrHˆˆˆˆˆˆ(cossin)sinrzrr其中21ˆ[]sin4jkrIzjkerrH23231111ˆˆ[]sin[]cos44jkrjkrIzjIzeerrrjrrjrE利用k221ˆ[1]sin41111ˆˆ[1]sin[]cos4()4()jkrjkrjkrIzejkjkrrIzeIzejjrjkrkrrrkrrHE1()jEHJ整理后得到表达式揭示了电流元的电磁场结构：（1）电场有Eθ、Er两个分量，磁场只有Hφ分量，电场与磁场相互垂直（2）电力线在子午平面内，磁力线在垂直与z轴的平面内（3）场表达式中各分量均随r的增大而减小，但减小速度不同根据各分量随距离r减小的快慢，提出场的分区概念，得到不同距离下的近似表达式。特征221ˆˆ[1]sin41111ˆˆ[1]sin[]cos4()4()ˆˆjkrjkrjkrrIzejkHjkrrIzeIzejjrjkrkrrrkrrEErHE三、场的分区1krr1、场表达式中r的高次幂占主导233ˆsin4ˆˆsincos42jkrjkrjkrIzerIzeIzejjrrrHE其功率通量密度为*22251()211ˆˆˆˆ[]()(sinsin)224rjIzEHrEHrrSEH功率密度矢量为虚数，因此不产生时间平均辐射功率流。或近场区“感应场”11krr2、场表达式中r的低次幂占主导ˆsin4ˆsin4jkrjkrIzejkrIzejrHEEHk(波阻抗)2*2211sinˆ()()224IzkrrSEH功率通量密度为其值是实数，方向为径向。辐射功率2232001()sin()2412fIzkPdskddIzS实功率代表耗散功率，意味着功率从源传播开去，称为辐射功率。或远场区“辐射场”000377空气中3、近场区和远场区之间的区域称为中间区，场的的结构很复杂，从略。电流元辐射场的空间方向图远区电场特性天线设计就是要赋予它所需要的方向特性。小结：学习了电流元的概念，构成线天线的最小单元采用矢位法求解了电流元的辐射场学习了场的分区概念，及电流元场的特征2.2对偶原理麦克斯韦电磁理论获得了巨大的成功。然而，物理学家常常不满足于已有的成就，他们对于任何事物总偏爱采取挑剔的态度。电和磁的对称性问题，就是一个近七十余年来始终令物理学家困惑的问题，且这个问题至今尚未解决。科学的发展往往带有偏执的完美主义引电的基本单元是电荷。正负电荷可以分开，自由电荷能单独存在，因而我们可以引进电荷密度和电流密度的概念。磁的基本单元是磁偶极矩（磁矩），它可以看作是正负磁荷的组合。然而，这种正负磁荷却不能分开，自由磁荷不能单独存在。因而不能引入磁荷密度和磁流密度等概念。0HJEEJHBDmmjjMaxwell方程对称形式电流产生的磁场方向符合右手法则，磁流产生的电场方向符合左手法则。EEEHHHemem线性媒质中的场00HJEEHBDeeeeeejj0HEEJHBDmmmmmmmmjj电流、电荷满足的Maxwell方程磁流、磁荷满足的Maxwell方程通过对偶关系，可由电流源的场直接写出磁流源的场。媒质参数2kmEur2.3理想磁偶极子-磁流元一段虚拟的载有高频磁流的短导线，导线的直径远小于导线长度。导线上磁流沿轴向流动且等幅同相。周长远小于波长的电流环可以等效为磁流元。ISxyzIm假设小电流环面积为S，其上电流为I，则等值异号磁荷的磁矩可表示为lqISpmm其方向与环电流成右手定则。则等效磁荷可导出为lISqm等效磁流为lISjqjdtdqImmmˆsin4ˆsin4jkrjkrIzejkrIzejrHE22ˆsin4ˆsin4jkrjkrISerISerEH电流元辐射场电流环（磁流元）辐射场对偶原理方向图与电流元的相同，但E、H的方向相互交换（极化互换）。2.4对称振子的辐射场１、短对称振子)21(ˆ)('0'zlIzzII0表示波腹电流或输入电流最简单、常用的天线形式２、对称振子对称振子是由一段开路长线张开形成，其上的电流近似按正弦分布。)2(sinˆ)(0'zlkIzzI边界条件:末端电流为零可将有限长度的对称振子看成是无穷多首尾相连的电流元。根据电流元的电场，则每一电流元的场为''sin4)(dzRezkIjdEjkRˆsin4jkrIzejrE其中，在远场区cosˆ'zrrRrrrr''于是对幅度因子rR11对相位因子cos'zrRsin2cos)cos2cos(202/2/klklreIjdEEjkrll将电流元积分可得对称振子的电场sin2cos)cos2cos(2/0klklreIjEHjkr磁场为当振子长度为半个波