有限元分析ppt

有限元分析的几个基本问题机械研1班王景阳学号：12011130592目录专题1、有限元的直接法•专题2、平面问题的有限元法•专题3、薄板弯曲问题有限元法•专题4、机械振动分析的有限元法问题、什么是FEA?它与材料力学的区别？•有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）最本质的思想是把一个大的、无论几何形状和受力复杂情况的机械零件划分为有限多个被称为单元的小弹性体（所谓弹性体：物体所受外力完全去除以后，物体能完全恢复原形，不留下残余变形。），在每个小弹性体里，假定弹性体的变形和应力都是简单的，小弹性体内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得真个机械零件的变形和应力。•材料力学(mechanicsofmaterials)是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。区别一：有限差分法•当受弯杆件是变截面梁和梁上载荷比较复杂时，用积分法求弯曲变形，计算相当困难。•材料力学只能计算一些简单、特殊机械结构，对于复杂的结构要么无能为力，要么将其简化为材料力学能够计算的模型。为了安全，引入了安全系数K（K大于1）来弥补，导致机器的“傻大笨粗”。•1，对象不同。材料力学研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。有限元分析还研究板、壳及其他实体构件，即两个尺寸大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的简单构件。•2,假设不同。材料力学是对构件的整个截面来建立条件，引用一些截面的变形状况及应力情况的假设，简化了数学引入了推演，结果是近似的，构件假定是刚体。而有限元对构件的无限小单元体来建立这些条件，结果更为精确、符合实际，构件是弹性体。•3，所涉及学科不同。材料力学与理论力学一脉相承，而有限元方法则与数值分析这门学科紧密相连。单元：剖分插值——把结构剖分（离散）为有限个单元（小局部），利用“插值函数”研究单元的平衡和协调；再把这有限个离散单元集合（还原）成结构，保证被还原的结构满足平衡和变形协调条件。（所谓插值：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。）••将悬臂梁分成20个相等的间隔，h=L/20。这样就在梁上确定了0,1,2,…,20二十一个点。因为点0的挠度为0,所以只有其余20个点的挠度是未知量。梁的截面不变，EI为常量。悬臂梁下面分析一个方型悬臂梁，如图所示.PPointAL求解在力P作用下点A处的变形，已知条件如下：P=100NL=10mb=h=5e-2mE=3e11N/m2A=0.0025m2I=5.2e-7m4•例如，把一个厚度均匀的悬臂板抽象成若干个有小三角形组成的桁架，那么构成桁架的每个杆就是一个受拉或受压的二力杆，求解每一个小单元的应力和应变就相对容易。•根据微积分的思想，当这些小三角形的数量趋于无穷大时，小三角形组成的桁架的物理状态和大悬臂板的物理状态区域相同。576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧专题一有限元的直接法1.1有限元分析法的基本思路•1、简化被分析机械结构的力学计算模型。将被分析的机械结构（悬臂板）有整化零，这些小的结构（三角板单元）再通过节点处的连接组成一个与原机械结构几何形状相同的弹性体。编排单元号码与节点号码。将非节点载荷（自重）移植到节点上。•2、求出以节点位移表示的单元节点力。一个节点处的未知力多于平衡方程的数目；而位移恰好等于平衡方程的数目。•3、建立节点平衡方程式。建立全部节点的平衡方程式，得求解节点位移的线性方程组，可得到线性方程组。•4、求单元的内力或内力。节点单元iu()iiixymxFmyFxy()jjjxyjujv()mmmxymumviviyFixF整体平衡分片近似单元平衡结构离散方程求解问题分析力学模型节点单元位移函数单刚方程总刚方程节点位移函数阶梯轴（梁）2F11Φ(1)l1(1)AE(1)FF23Φ(2)l2Φ33F3AE(2)(2)分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体结构中的编码，简称为总码。1.1有限元法概述二．一个简单的应用实例1.离散化①局部码：各单元内，节点的编码；②各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记③所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节点载荷的集合为节点力矢量{f}；④右上角标为该单元的编码有限元法概述二．一个简单的应用实例2.单元刚度矩阵某等截面单元e两节点载荷为；位移量为。其上角标为该单元的编码；下脚标为节点的局部码。)(2)(1,eeff)(2)(1,ee)(2)(1)()(2)(2)(1)()(1eeeeeeeelEAflEAf()()()()()()()11()221111eeeeeeeefEAfkfl)(22211211)(eekkkkk节点(e)f11AExφ1(e)(e)(e)l(e)2（e)(e)节点2f2φ小结单元刚度矩阵[k]:由节点位移矢量求节点力矢量的转移矩阵。该矩阵中的每个元素都为单元刚度系数。kij的含义：表示单元内节点j产生单位位移时，节点i所引起的载荷fi。1.1有限元法概述二．一个简单的应用实例3.总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出令：整体结构所有节点位移的集合为它的节点位移矢量{Φ}，节点载荷的集合为节点力矢量{F}，则：{F}=[K]{Φ}上式为总体平衡方程。[K]为总体刚度矩阵，它是在整体结构中由节点位移矢量求节点力向量的转移矩阵。321333231232221131211321KKKKKKKKKFFF)1()1()1()1()1()1(21000lEAlEAlEAK)1(33232221131211KKKKKKK)2()2()2()2()2()2()2(2100000lEAlEAlEAlEAK)2(333231232221131211KKKKKKKKK(1)(1)1112(1)(2)(1)(1)(2)(2)21222223(2)(2)323300KKKKKKKKKKK321)2()2()2()1()1()1(3210lEAlEAlEAlEAlEAlEAFFF112355232201.962310011100.25510,0.76510Fcmcm将数代入，引入支承条件1.1有限元法概述二．一个简单的应用实例4.节点位移的计算—支承条件的引入：总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，必须引入支承条件才可求解。4.各单元内应力和应变的计算：在求出各节点位移后，即可求出各单元的应力和应变。112355232201.962310011100.25510,0.76510Fcmcm(1)6(2)63221(1)(2)(2)(1)(1)(1)2(2)20.25510,0.51104.998/,9.996/xllENcmENcm步骤离散化—局部坐标—单元刚度矩阵—相应总体刚度矩阵—集成总体刚度矩阵—总体刚度方程—引入支承条件—求节点位移—单元应力应变1.2直接法1.2.1单元划分：用点、线或面把结构剖分为一系列离散单元。进行单元分析，使每个单元都满足平衡条件和变形连续条件：l/2l/2P123①②1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4图1-2两端固定梁单元划分单元的节点上有位移和力F1.2.2以节点位移表示节点力：把所有被离散的单元集合起来。进行系统（结构整体）分析，保证系统在单元与单元间连接点处的平衡条件及变形协调条件得到满足。单元节点位移引起的单元节点力用材料力学方法求得1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4l/2l/2P123①②图1-3一个单元的每个节点上都有用来描述其变形的广义位移和相应的广义力。广义一语意味着所论位移既可以是线位移，也可以是角位移。力除了代表力以外，还可以代表力矩。1.2.3、单元节点位移和单元节点力的关系F1F2F3F412①l/212l/2①1324上述单元的节点位移和节点力是对给定的坐标系来说的，对线性小挠度问题，可以采用材料中的叠加原理求得由单元节点位移引起的单元节点力。XY图1-5把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排列成一个列向量{}（或{F}），称{}（或{F}）为单元节点位移（或单元节点力），可简称为单元位移（或单元力）。单元上节点位移总数称单元的自由度数，等于单元节点数乘节点自由度数。下面举例说明理论力学中桁架和梁的自由度数:43214321FFFFF1234l/212F1F2F3F4l/212平面桁架节点：2（ux、uy）xy○○○○○uxuy空间桁架节点：3（ux、uy、uz）○○○○○uyzxy平面梁节点：2（uy、z）空间梁节点：6（ux、uy、uz、x、y、z）○○○○○○○○○○zxyuxuyuz1.2.3单元刚度矩阵每个单元都有单元位移{}、单元力{F}。它们是把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排成的一个列向量{}（或{F}）。mmjjiivuvuvuymxmyjxjyixiFFFFFFFijmuiujumvivjvmijmFxiFyiFxjFxmFyjFymxy平面应变板单元1.2.3.1单元刚度的概念单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移之间关系，建立单元刚度矩阵。对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的一个方阵，称单元刚度矩阵。以图1-5示出的平面梁单元为例。坐标系XY如图所示。图1-5XY1234单元位移(e)ijXYF1F2F3F4单元力(e)ij4321444342413433323124232221141312114321kkkkkkkkkkkkkkkkFFFF（1-1）描述单元力和单元位移之间关系的矩阵式一般可写为：其中，kij（i=1、…4，j=1、…、4）称刚度系数，矩阵:44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkk称为第（e）号单元的单元坐标单元刚度矩阵，可简称为单元刚度矩阵，简写为[k]。即44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkk（1-2）引入单元位移、单元力符号：、F43214321FFFFF公式（1-1）被缩写为：kF（1-3）从式（1-3）和（1-1）看出：（1）单元刚度矩阵表明