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13.4课题学习最短路径问题如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短FEDCBA①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。A连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。·B·P思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？学.科.网.zxxk.根据：两点之间线段最短.如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用··AB燃气管道L引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．(Ⅱ)两点在一条直线同侧问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl(Ⅱ)两点在一条直线同侧精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl(Ⅱ)两点在一条直线同侧问这是一个实际问题，如何转化？将A，B两地抽象为两点，将河抽象为一条直线lB··Al现在问题转化为：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(Ⅱ)两点在一条直线同侧（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlCB··Al(Ⅱ)两点在一条直线同侧追问1对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处接成线段，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？BAlC(Ⅱ)两点在一条直线同侧追问2能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？BAlC(Ⅱ)两点在一条直线同侧作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′（2）连接AB′，与直线l相交于点C则点C即为所求．问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C(Ⅱ)两点在一条直线同侧问3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C(Ⅱ)两点在一条直线同侧证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．B·lA·B′CC′由三边关系：AB′AC′+BC′∴AC+BCAC′+B′C′AC+B′CAC′+BC′∴AC+BC最短(Ⅱ)两点在一条直线同侧ABlB/P点P的位置即为所求.M②连接AB’,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′PA+PB′即MA+MB′PA+PB归纳：作法？作法：①作点B关于直线l的对称点B’1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习1、只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．练习2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线a的对称点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。··CDABa·练习3.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）A··B练习作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到C；A·BM···C···N2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。河宽练习证明：由平移的性质，得BN∥CM且BN=CM,MN=BC,所以A.B两地的距离AM+MN+BN=AM+MN+CM=AC+MN,若桥的位置建在ED处，连接AE.ED.DB.CE,则AB两地的距离为：AE+ED+DB=AE+ED+EC=AE+EC+MN,在△ACE中，∵AE+EC＞AC,∴AE+EC+MN＞AC+MN,即AE+ED+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。A·BMNCED4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD··CEGH草地河流练习ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN练习证明：在直线OA上另外任取一点G，连接…∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中，∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HD＞CM+MN+ND即CM+MN+ND最短FAOBD··CEMNGH练习(Ⅲ)一点在两相交直线内部1、已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小MNOA·已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.作法：1.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；2.连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C.则点B、点C即为所求MNOA··A′·A″BC2.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ.EDMNGH如图：牧马人某一天要从A牵出马，先到草地边l1某一处牧马，再到河边l2饮马，然后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。A··B(Ⅳ)两点在两条直线之间l1l2归纳小结•(Ⅰ)两点在一条直线异侧•(Ⅱ)两点在一条直线同侧•(Ⅲ)一点在两相交直线内部•(Ⅳ)两点在两条直线之间