人教版八年级上册数学第十三章线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理

13.5.2线段的垂直平分线——性质定理与判定定理马山二中仵金生问题1马山口镇政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心。试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC提出问题ABL问题2在312国道L（南阳—内乡段）的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？312国道1、能说出线段的垂直平分线的性质定理和逆定理，会区别运用这两个定理。2、体会学习数学的方法，观察、概括、验证、比较等在本课中的应用。3、认识数学来源于生活，又服务于现实生活，体验数学的应用价值。学习目标：ABPA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。PMNC探究一：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?已知:如图,MN⊥AB,垂足为C并且AC=BC，P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要证明PA=PB,而△APC≌△BPC的条件由已知故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPMNC证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90º在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB已知:如图,MN⊥AB,垂足为C并且AC=BC，P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ABCMNP特例:当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?ΔPCA与ΔPCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB此定理的几何语言定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图：∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).挑战自我随堂练习1驶向胜利的彼岸如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760探究二：′思考分析你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?逆命题到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?ABP如果是.请你证明它.已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确.想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证?ABPC过点P作PC⊥AB垂足为C.在RtΔPCA和RtΔPCB中PA=PB，PC=PC∴ΔPCA≌ΔPCB(HL)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线MN上.证明:驶向胜利的彼岸逆定理的几何语言我能行1逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?应用迁移•根据上述两个定理我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。你能说出证明的思路吗？问题1马山口镇政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC解决问题：BAC线段的垂直平分线1、求作一点P，使它和△ABC的三个顶点距离相等.实际问题数学化pPA=PB=PC实际问题1312国道ABL问题2在312国道L（南阳—内乡段）的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？线段的垂直平分线2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.LAB实际问题数学化实际问题2pPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务挑战自我随堂练习1驶向胜利的彼岸如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760回味无穷定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).小结拓展ACBPMN独立作业2驶向胜利的彼岸2.如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？老师期望:养成用数学解释生活的习惯.A●B●独立作业33.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDCABCMNCABMN独立作业11.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.老师期望:先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德之于人.•证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.