线性代数4习题课

.,.,,,21个分量称为第个数第个数称为该向量的分量这维向量数组称为所组成的个有次序的数iainnaaanin分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义aaaann21,,即称为列向量维向量写成列的形式aaaannT,,,,,21即称为行向量维向量写成行的形式向量的相等),,2,1(),,,(),,,,(2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT则设零向量分量全为0的向量称为零向量．),,2,1(0niaOaiT),,2,1(,0niaOaiT中至少有一个不为负向量).,,,(,),,,(2121aaaaaaaaanTTnT且的负向量记作向量向量加法),,,(:),,,,(),,,,(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT的加法为与向量定义设),,,(2211babababannTT向量减法定义为２向量的线性运算数乘向量),,,(,,21akakakakaknTT定义为简称数乘向量称为向量的数量乘法的乘积与向量数向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：;)1(加法交换律);()()2(加法结合律;,)3(O有对任一个向量;)(,,)4(O有存在负向量对任一个向量;1)5(;)()()6(kllk数乘结合律;)()7(kkk数乘分配律.)()8(lklk数乘分配律.,,,1,,,为零向量为数维向量为其中Olkn除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：);,0(,0)'1(为任意数为数零其中kOkOO;,0,)'2(OkOk或者则或者若.)'3(xx有唯一解向量方程若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义.,,,,,,,,,,,,:2122112121这个线性组合的系数称为的一个线性组合称为向量组向量实数对于任何一组给定向量组kkkAakakakkkkaaaAmmmmm３线性组合定义.,,,,,,,,,,:22112121线性表示由向量组能这时称向量的线性组合是向量组则向量使存在一组实数如果和向量给定向量组AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm４线性表示定理.),,,,(),,,(2121的秩的秩等于矩阵件是矩阵线性表示的充分必要条能由向量组向量baaaBaaaAAbmm定义.,.,,,,,:,,,:2121两个向量组等价则称这能相互线性表示与向量组若向量组线性表示能由向量组则称向量组线性表示向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABABbbbBaaaAsm定义.,,0,,,,,,,,:22112121否则称它线性无关是线性相关的则称向量组使为零的数如果存在不全给定向量组AakakakkkkaaaAmmmm５线性相关定理.)(;),,,(,,,2121mARmaaaAaaamm是必要条件向量组线性无关的充分于向量个数的秩小条件是它所构成的矩阵线性相关的充分必要向量组定理.,,.,,,,:,,,,:)1(12121也线性无关则向量组线性无关向量组若反言之也线性相关量组则向线性相关若向量组ABaaaaBaaaAmmm若向量量添上一个分量后得到向即向量设.),,2,1(,,)2(,111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj.,,.,,,:,,,,:2121也线性相关则向量组线性相关若向量组反言之也线性无关则向量组线性无关组ABbbbBaaaAmm.,)3(时一定线性相关向量个数小于当维数维向量组成的向量组个mnnm.,,,,,,:,,,,:)4(2121且表示式是唯一的线性表示能由向量组必则向量线性相关向量组而线性无关设向量组AbbaaaBaaaAmm定义满足个向量中能选出如果在设有向量组,,,,,21aaarAAr;,,,:)1(210线性无关向量组aaaAr,)1(1)2(都线性相关个向量的话中有如果个向量中任意向量组rArA.);(0的秩称为向量组量个数最大无关组所含向简称最大无关组无关向量组的一个最大线性是向量组那么称向量组ArAA６向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１推论２).()(),()(,BRCRARCRBACnssmnm则设推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．BABABBA.,,;,,:,VaRVaVbaVbVaV则若则若数乘两种运算中可以进行加法及是指在集合所谓封闭７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．VVVVn.,,2,1,,,,,121miRaxVaaaimiiim空间为所生成的向量由向量组一般地定义.,,212121的子空间是就称若及设有向量空间VVVVVV.子空间的都是间维向量所组成的向量空任何由RVnn８子空间定义.,,,,,,,,,)2(;,,,)1(,,,,,1212121维向量空间为并称的维数称为向量空间的一个基就称为向量空间向量组那么线性表示中任一向量都可由线性无关且满足个向量如果为向量空间设rVVrVaaaaaVaaaVaaarVrrrr９基与维数.0.0,OV量空间只含一个零向量维向的维数为那么若向量空间没有基.,,的秩的维数就是向量组组向量组的最大线性无关的基就是则看作向量组若把向量空间VVV向量空间的构造.,,2,1,,,,,121riRaxVVVaaairiiir可表示为则的一个基是向量空间若向量组的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组)1(,0,0,0221122221211212111xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程１０齐次线性方程组)2(.)1(,,21212222111211OAxxxxxaaaaaaaaaAnmnmmnn式可写成向量方程则解向量.)2(,)1(,)1(,,,1211111212111的解它也就是向量方程的解向量称为方程组则的解为若nnnxxxx解向量的性质性质１性质２.)2(,)2(,2121的解是也则的解为若xxx.)2(,,)2(11的解也是则为实数的解为若kxkx定义.)1(,,,)1(间的解空称为齐次线性方程组是一个向量空间所以集合对向量的线性运算封闭则集合合集的全体解向量所组成的为方程组设SSS定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组定义.)1(的基础解系的基称为方程组解空间S)4()3(,,,22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn可写为向量方程非齐次线性方程组向量方程１１非齐次线性方程组解向量的性质性质１性质２.)5(,)4(,2121的解组为对应的齐次线性方程则的解为若OAxxxx.)4(,)5(,)4(的解也是方程则解的是方程的解是方程若xxx解向量向量方程的解就是方程组的解向量．)4()3(（１）求齐次线性方程组的基础解系:,,,,,,,)(21可按下面步骤进行不妨设为个解向量解系含线性无关的那么方程组的一个基础程组中未知数的个数为而方的秩若齐次线性方程组rnrnnrAROAx１２线性方程组的解法第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,,21,2,11,1ccccccnrrrnrnrA即个分量的第于是得号个分量反列前将第第二步,,,2,1,,,,,2,1:21rrnrrrn;,,,,,2,11,2,22,121,1,21,11cccccccccnrnnrnrrrrrrrr第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系.100,,010,001,,2,12,2,22,121,1,21,11cccccccccnrnnrnrrrrrrrrrnrn（２）求非齐次线性方程组的特解.,,,)()(矩阵使其成为行最简形进行初等行变换增广矩阵那么对数为而方程组中未知数的个的秩若非齐次线性方程组BnrBRARbAx,000000000000100010001,1,2,21,21,11,1dccdccdccrnrrrnrnr将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得rrnr,,2,1,0021dddr即为所求非齐次线性方程组的一个特解．一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典型例题?,,,,:,,,,,,,21221121其线性组和为零向量也使得的数是否存在一组不全为零一个自然的问题是那么零向量一个特殊向量其结果为向量空间中的时线性组合的结合物量空间中两种基本运算当我们考虑到向而言的定的向量组概念都是针对一个特线性相关与线性无关的kkkkkkmmmm一、向量组线性关系的判定.0,0,,,;,;,.:221121mmmkkkkkk才有时当指的是当且仅所谓不存在该向量组线性无关则称若不存在则称该向量组线性相关若存在关与线性无关的概念然而然地提出了线性相也就自这样存在或不存在答案只有两种.,,,:,?),(,们往往采用反证法我时在论证某些相关性问题据此立的概念一对排中对线性相关与线性无关是应注意到还此外可由其余向量线性表出意一个向量不是任即看其中有无某个向量的概念来体现可以通过线性表出线性相关与线性无关还研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发000,0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm令整理得线性方程组)(,0,0,0221122221121221111kakakakakakakakakammnnnmmmm