【辅导机构】北师大版数学-8年级上册讲义

第一章勾股定理1探索勾股定理一、概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222cba（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”）二、勾股定理的证明勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想。（1）证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）右图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（ba），斜边为c,中间是正方形，且边长为b-a。∵以c为边的大正方形的面积为2c，而4个直角三角形的面积和为ab214，中间的小正方形的面积为2ab∴22214ababc，∴222cba（2）证法二：邹元治的证明右图是4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,中间是正方形，且边长为c。∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为222214cabcabS，大正方形面积为2baS，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。∴222cabba，∴222cba（3）证法三：1876年美国总统伽菲尔德的证明右图是由2个以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形。∵22121bababaS梯形2221212122cabcabSSSDECADE△△梯形∴222121cabba，∴222cba（4）证法四：陈杰的证明如右图所示，直角边长分别为a、b的四个三角形全等，斜边长为c，图中有三个正方形的边长分别为a、b、c，设整个图形面积为S。∵，，abcabcSabbaabbaS222222212212∴abcabba222，∴222cba（5）证法五：火柴盒拼图右图火柴盒的一个侧面ABCD倒下到DCBA的位置，连接CC,可得到直角梯形DCBC和等腰直角三角形ACC。设cACbBCaAB,,,利用梯形DCBC的面积即可证明勾股定理。∵2212baDBDCBCSDCBC梯形2221212122abcabcabSSSSCADCCAABCDCBC△△△梯形∴22222abcba，∴222cba2一定是直角三角形吗※勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c,满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。2.作用：由数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形3.到目前为止，判定直角三角形由三种方法：（1）三角形中有一个直角；（2）三角形两边相互垂直；（3）勾股定理的逆定理。※勾股数满足222cba的三个正整数，成为勾股数。【注意】（1）勾股数必须满足两个条件：三个数都是正整数；222cba；（2）常见的勾股数：3/4/5；5/12/13；7/24/25；8/15/17.（3）勾股数存在规律：如果a是一个大于1的奇数，b,c为两个连续的正整数，且有cba2，则a,b,c为一组勾股数。如果a,b,c,为一组勾股数，则na,nb,nc也是一组勾股数。对于任意两个正整数m和n（mn）,若22nma，mnb2，22nmc，则a,b,c是一组勾股数。3勾股定理的应用1.确定立体图形上的最短路线★在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点问的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．归纳：求立体图形中最短路线的一般步骤：（1）将立体图形展开为平面图形，展开时注意：①只需展开包含相关点的面；②可能会存在多种展开法；(2)确定相关点的位置；(3)连接相关点，构造直角三角形．(4)利用勾股定理求解。2.利用三角形三边关系判断垂直本节垂直的识别是指应用三角形的三边关系判别三角形是直角三角形，这是识别垂直的一种方法。在实际生活中常判断两直线是否垂直，解决问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，再利用三角形三边的关系判断垂直。第一章勾股定理（习题）1探索勾股定理1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的斜边长为（）A.9B.10C.11D.122.下列说法中正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则222cbaB.已知直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在，中，△90CABCRt所以222cbaD.在，中，△90BABCRt所以222cba3.在△ABC中，cbaCBA,,,2:1:1::分别为CBA,,的对边，则有（）A.222acbB.223bcC.2223caD.222bc4.已知一等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm,则底边上的高为（）A.12cmB.5cmC.cm3120D.cm13105.已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A.21B.15C.6D.以上答案都不对6.如图所示，在Rt△ABC中，12,9,90BCACACB,则点C到斜边AB的距离是（）A.536B.512C.9D.67.如图，点E在正方形ABCD内，满足8,6,90BEAEAEB则阴影部分的面积是（）A.48B.60C.76D.808.一个直角三角形的周长为12米，斜边长为5米，则这个直角三角形的面积为（）A.12㎡B.9㎡C.8㎡D.6㎡9.一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面长为60cm,宽为45cm,对角线长为75cm,则这个桌面（填合格或者不合格）。10.一根长8m的电杆被撞断，在离地面3m处断裂，顶部落在离电杆底部（）米远处11.在△ABC中，90D，C是BD上一点，已知CB=9，AB=17，AC=10,则AD的长为12.右图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm）,计算两圆孔中心A,B之间的距离。2一定是直角三角形吗1.判断如下以a,b,c为三边长的三角形是不是直角三角形，如果是，请指出哪一条边所对的角是直角（1）a=15,b=12,c=9;（2）a:b:c=5:12:132.判断下列各组数是不是勾股数（1）3,4,7；（2）5,12,13；（3）51,41,31；（4）3，-4,53.若三角形的三边长a,b,c满足abcba222，则这个三角形的形状是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形4.下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是（）A.30,40,50B.7,12,13C.5,9,12D.3,4,65.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1：2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:56.如右图，给出的正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对7.若△ABC的三边长为a,b,c，且满足0222cbaba，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.某公园有一块草坪如图所示，已知AB=6米，BC=8米，CD=24米，DA=26米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）A.36㎡B.72㎡C.108㎡D.144㎡9.如图所示，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm,试判断△ADC的形状，并说明理由。10.一个三角形三边分别为8,15,17，那么最长边上的高为。11.若△ABC的三边长a,b,c满足条件cbacba262410338222，则△ABC的面积为（）A.1360B.30C.32.5D.783勾股定理的应用1.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们白城两个直角三角形，其中正确的是（）2.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12,则BC的长为（）A.25B.7C.25或7D．不能确定3.有一圆柱形油罐，如右图，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m．问梯子的最短长度为多少米？4.如图所示，一只蜘蛛从长方体的一个端点A爬到另—个端点D，已知长方体的长、宽、高分别是AB=8cm，BC=7cm，CD=8cm，求这只蜘蛛爬行的最短距离。5.三角形的三边长分别为5,12,13，则最短边上的高为。6.“中国号”帆船在峡湾航行，由于风向的原因先向正东方向航行了3千米，然后向正南方向航行了4千米，这时它离出发点有千米。7.如图1-3-12，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90。，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为多少？8.如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，如果梯子的顶端下滑0.4m，则梯足将向外移动多少米？9.如图所示，将一根16cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？10.一个三级台阶如图所示，它的每一级的长、宽和高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？11.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．12．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70km/h，如图所示，一辆小汽车在一条城市街路上直通行驶到车速检测仪A的正前方50m的C处，过了4s后行驶到B处，此时测得小汽车与车速检测仪A之间距离为130m，这辆小汽车超速了吗？第二章实数1认识无理数1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。（1）无理数可分为正无理数和负无理数。（2）常见的几种无理数类型：①一般的无限不循环小数，如1.41421356……；②看似循环而实质不循环的小数，如1.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；③具有特定意义的数，如π=3.14159265……；④开方开不尽的数进行开方后所得的结果（以后才能学到）。（3）有理数与无理数的区别：①有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；②所有的有理数都能化成分数（整数可以看成是分母为l的分数），而无理数不能化成分数。注意：2形似分数，但它不是分数，是无理数。2平方根1.算数平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a。即ax2。那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”。注意：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a有意义时，a一定表示一个非负数．(3)a（a≥0）是一个非负数，2.平方根一般地，如果一个数x的平方等于a。即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)。★一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。提示：(1)一个正数a必有两个平方根，一个是a的算术平方根a，另一个是-a，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作a，读作“正、负根号a”.(2)因为正数、0、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。3.开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数，【注意】：（1）开平方时，被开方数a必须是非负数，(2)平方根是数,是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程。(3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．4.22