数控加工算法--数值计算

数控编程技术范庆明2第四章数控编程中的数学处理第一节数值计算第二节直线圆弧零件轮廓的基点坐标计算第三节非圆曲线节点坐标的计算第四节列表曲线型值点坐标的计算第五节简单立体型面零件的数值计算31.1基点的坐标计算1.3刀位点轨迹的计算第一节数值计算1.4辅助计算1.2节点的坐标计算41.1基点的坐标计算基点的含义：特点：基点可以直接作为运动轨迹的起点或终点；相邻基点间只能有一个几何元素。基点直接计算的内容：每条运动轨迹的起点和终点在选定坐标系中的坐标、圆弧运动轨迹的圆心坐标值。构成零件轮廓的几何元素的交点或切点称为基点。特点：方法比较简单，一般可根据零件图样上给定的尺寸运用代数、三角、几何或解析几何的有关知识，直接计算出数值。要注意小数点后的位数要留够，以保证足够的精度。51.2节点的坐标计算节点的含义：将组成零件轮廓的曲线按照数控系统插补功能的要求，在满足允许的编程误差的条件下，用若干直线或圆弧去逼近曲线并近似代替曲线，逼近线段的交点或切点称为节点。节点的计算：常用的有直线逼近法和圆弧逼近法。图4-1曲线的逼近6编写程序：按照节点划分程序段逼近线段的近似区间越大，则节点数目越少，相应地程序段数目也会越少，但逼近线段的误差δ应小于或等于编程允许误差δ允。考虑到工艺系统及计算误差的影响，δ允一般取零件公差的1/5～1/10。71.3刀位点轨迹的计算刀位点：标志刀具所处位置的坐标点。数控系统就是从对刀点开始控制刀位点的运动，并由刀具的切削刃加工出不同要求的零件轮廓。图2-17刀位点图立铣刀的刀位点：刀具轴线与刀具底面的交点；球头铣刀刀位点：球心；钻头刀位点：钻尖或钻头底面中心；镗刀、车刀刀位点：刀尖或刀尖圆弧中心；81.3刀位点轨迹的计算(续)对于具有刀具补偿功能的数控机床，在编程时，只要给出零件轮廓上的基点或节点坐标、给出有关刀具补偿指令及相关数据，数控装置就可自动进行刀具偏移计算，算出所需刀具中心轨迹坐标，控制刀具运动。对于不具有刀具补偿功能的数控机床，编程时需要对刀具的刀位点轨迹进行数值计算，按零件轮廓的等距线编程。91.4辅助计算包括增量计算和辅助程序段的数值计算。辅助程序段：是指刀具从对刀点到切入点或从切出点返回到对刀点而特意安排的程序段。增量计算：数控系统中某些数据要求以增量方式输入时，所进行的绝对坐标数据到增量坐标数据的转换。10切入点的位置：根据零件加工余量而定，适当离开零件一段距离。切出点的位置：应避免刀具在快速返回时发生撞刀。适当离开零件一段距离。11第二节直线圆弧零件轮廓的基点坐标计算2.1联立方程组法求解基点坐标（代数法）2.2三角函数法求解基点坐标（几何法）2.3代数法、几何法求解刀位点轨迹的基点坐标12直线圆弧系统零件轮廓或刀位点轨迹的基点坐标计算，一般采用代数法或几何法。代数法:通过列方程组的方法来求解基点坐标。其特点:方便计算机求解，但对于手工编程计算比较繁琐。几何法:根据图形间的几何关系利用三角函数求解基点坐标。特点：与列方程组解法相比计算比较简单、方便。132.1联立方程组法求解基点坐标由直线和圆弧组成的零件轮廓，可以归纳为直线与直线相交、直线与圆弧相交或相切、圆弧与圆弧相交或相切等情况。(1)直线与圆弧相交或相切图4-2直线与圆弧相交142.1联立方程组法求解基点坐标(续)(2)圆弧与圆弧相交或相切图4-3圆弧与圆弧相交152.1联立方程组法求解基点坐标(续)求解基点坐标的步骤：①选定零件坐标系的原点；②列出直线、圆弧的数学方程；③求出相邻几何元素的交点和切点。162.1联立方程组法求解基点坐标(续)例1：零件图形如图3-4所示，该零件由四条直线和一圆弧组成，求各基点的坐标。图4-4零件轮廓的基点坐标计算17解：①选定零件坐标系的原点为A点。由图可知，应确定的基点坐标为A、B、C、D、E，其中A、B、D、E各点的坐标可直接由图的数据得到：A(0,0)、B(0,12)、D(110,26)、E(110,0)，而C点为直线BC与圆O2的切点。②列出直线BC、圆O2的数学方程：③求出直线BC与圆O2的切点：182.2三角函数法求解基点坐标对于由直线和圆弧组成的零件轮廓，采用手工编程时，常利用直角三角形的几何关系进行基点坐标的数值计算。图4-5直角三角形的几何关系及三角函数计算公式192.3代数法、几何法求解刀位点轨迹的基点坐标编程轨迹：编程时用刀位点的运动来描述刀具的运动，运动所形成的轨迹称为“编程轨迹”。在需要计算刀位点轨迹数据的数控系统中，要计算出与零件轮廓的基点和节点相对应的刀位点轨迹上的基点和节点坐标值。202.3代数法、几何法求解刀位点轨迹的基点坐标(续)(一)采用代数法图4-6轮廓铣削加工时的刀位点轨迹从图上我们可以看出：刀位点轨迹实际就是零件轮廓的等距线，根据零件轮廓条件和刀具半径r刀，就可求出刀位点轨迹。21如果零件轮廓的直线、圆方程为：则刀位点轨迹的基点坐标可由以下两方程联立求解：注：求解直线的等距线方程时，当所求等距线在原直线上边时，取“+”，反之取“－”；求解圆的等距线方程时，当所求等距线为外等距线时取“+”，为内等距线时取“－”。222.3代数法、几何法求解刀位点轨迹的基点坐标(续)(二)采用几何法（1）直线轮廓的刀位点坐标计算（2）斜线轮廓的刀位点坐标计算（3）直线与圆弧组成零件轮廓的刀位点坐标计算23例2：下图为被加工轮廓和刀具的走刀路径，计算各刀位点的坐标图4-7直线轮廓铣削加工时的刀位点轨迹（1）直线轮廓的刀位点坐标计算24刀位点坐标②x=-0.25-0.1=-0.35,y=4+0.25=4.25③x=2+0.25=2.25,y=4.25④x=2.25,y=1+0.25=1.25⑤x=5+0.25=5.25,y=1.25⑥x=5.25,y=0-0.25=-0.25⑦x=-0.25,y=-0.25⑧x=-0.25,y=4+0.25=4.25答案：25（2）斜线轮廓的刀位点坐标计算①刀位点在零件轮廓外侧，相邻轮廓线之间的内夹角大于90º且小于180º，其几何关系和刀位点偏差Δx、Δy计算公式如图3-8所示；图4-8斜线轮廓的刀位点坐标计算(1)26（2）斜线轮廓的刀位点坐标计算(续)②刀位点在零件轮廓外侧，相邻轮廓线之间的内夹角小于90º，其几何关系和刀位点偏差Δx、Δy计算公式如图3-9所示；图4-9斜线轮廓的刀位点坐标计算(2)27（2）斜线轮廓的刀位点坐标计算(续)③刀位点在零件轮廓外侧，相邻轮廓线之间的内夹角大于180º，其几何关系和刀位点偏差Δx、Δy计算公式如图3-10所示。图4-10斜线轮廓的刀位点坐标计算(3)28（2）斜线轮廓的刀位点坐标计算(续)例3：图3-11所示为被加工轮廓和刀具的走刀路径，计算图中各刀位点的坐标。图4-11斜线轮廓的刀位点坐标计算实例29解：由图可知，刀位点②、⑤、⑥、⑦坐标比较容易确定，且②：x=-0.25,y=0.25⑤：x=5+0.25=5.25,y=-5-0.25=-5.25⑥：x=-0.25,y=-5.25⑦：x=-0.25,y=0.25而刀位点③、④坐标则需要应用相关公式计算。如下图所示。30（3）直线与圆弧组成零件轮廓的刀位点坐标计算例4：图3-12所示为被加工轮廓和刀具的走刀路径，计算图中各刀位点的坐标。图4-12铣削加工轮廓及刀位点轨迹31解：由图可知，刀位点②、③、⑥、⑦坐标比较容易确定，且②：x=-0.25,y=-0.25③：x=-0.25,y=2.5⑥：x=4.5,y=-0.25⑦：x=-0.25,y=-0.25而刀位点④、⑤坐标则需要应用相关公式计算。如下图所示。且有：则有：32第三节非圆曲线节点坐标的计算3.2非圆曲线节点坐标的计算方法3.1非圆曲线节点坐标的计算步骤3.2.1等间距法直线段逼近的节点计算3.2.2等程序段法直线逼近的节点计算3.2.3等误差法直线段逼近的节点计算333.1非圆曲线节点坐标的计算步骤非圆曲线:数控加工中除直线和圆弧之外的可以用数学方程式表达的平面轮廓曲线，如阿基米德螺旋线.数学表达式的形式:以y=f(x)的直角坐标形式、ρ=ρ(θ)的极坐标形式、参数方程的形式非圆曲线类零件包括平面凸轮、样板曲线、圆柱凸轮以及数控车床上加工的各种以非圆曲线为母线的回转体零件。343.1非圆曲线节点坐标的计算步骤(续)数值计算步骤：①选择插补方式：即决定采用直线段逼近非圆曲线，还是采用圆弧段或抛物线等二次曲线逼近非圆曲线；③选择数学模型，确定计算方法。在决定采用什么算法时，主要考虑两因素：1.尽可能按等误差的条件，确定节点坐标，以便最大程度地减少程序段数目；2.尽可能寻找简便的算法，简化计算机编程，省时；④根据算法，画出计算机处理流程图；⑤用高级语言编程调试程序，获得节点坐标数据。②确定编程允许误差，即应使δ≤δ允；353.2非圆曲线节点坐标的计算方法用直线段逼近非圆曲线的节点计算方法有：等间距法、等程序段法、等误差法和伸缩步长法；用圆弧段逼近非圆曲线的节点计算方法有：曲率圆法、三点圆法、相切圆法和双圆弧法。363.2.1等间距法直线段逼近的节点计算①基本原理：等间距法就是将某一坐标轴划分为相等的间距。如图3-13a所示，沿x轴方向取Δx为等间距长，根据已知曲线方程y=f(x)，可由xi求得yi，xi+1=xi+Δx，yi+1=f(xi+Δx)。如此就可求得一系列的节点。图4-13等间距法直线段逼近关键：确定间距值Δx，保证曲线y=f(x)和相邻两节点的法向距离δ小于允许的程序编程误差，即：δ≤δ允。373.2.1等间距法直线段逼近的节点计算(续)②误差校验方法：需要校验mn直线段。当δ未知时，利用方程组求解只有惟一解的条件，求出实际误差δ实，比较δ实与δ允，修正间距值。当δ=δ允时，若方程无解，则直线m´n´与曲线y=f(x)无交点，说明δ实δ允。383.2.2等程序段法直线逼近的节点计算等程序段法就是使每个程序段的线段长度相等。如图3-14所示，由于零件轮廓方程y=f(x)的曲率各处不等，因此应求出该曲线的最小曲率半径Rmin，由Rmin及δ允确定允许的步长l，然后从a开始，按步长l依次截取曲线，得节点b、c、d…，则ab=bc=cd=…=l为所求的各直线段。①基本原理：关键：误差的最大值产生在曲线曲率半径最小处。图4-14等程序段法直线段逼近393.2.2等程序段法直线逼近的节点计算(续)②计算步骤：a.由曲线方程y=f(x)，求其曲线的曲率半径R；b.求最小曲率半径Rmin，根据y=f(x)，依次求出c.确定程序段步长l：以Rmin为半径作圆弧如图3-14，由几何关系可知：403.2.2等程序段法直线逼近的节点计算(续)③特点：适用曲率变化不大的曲线节点计算。对于曲率变化较大的非圆曲线，程序段数目较多。d.求节点：以a点的坐标为圆心，以l为半径，得到一圆方程，联立曲线方程y=f(x)求解，可得到下一个节点b的坐标，再以b点为圆心进一步求出c点直到求出所有节点。413.2.3等误差法直线段逼近的节点计算①基本原理：使零件轮廓曲线上各逼近线段的插补误差δ相等且δ≤δ允。设零件轮廓方程为y=f(x)，如图3-15所示。首先以a点为圆心，以δ允为半径作圆。然后作圆a和曲线y=f(x)的公切线PT，求出此公切线PT的斜率后，过a点作PT的平行线交曲线y=f(x)于b点，这样就得到节点b。依次方法就可求出节点c、d、…。由于两平行线间距离恒为δ允，因而任意相邻两节点间的逼近误差为等误差。图4-15等误差法直线段逼近42②计算步骤：a.以a点为圆心，以δ允为半径作圆a，则(圆a切线法线方程)(圆a方程)(曲线切线方程)(曲线方程)e．按以上步骤依次求得c、d、…等节点坐标。c.过a点与直线PT平行的直线ab的直线方程为：d．联立曲线方程y=f(x)和ab直线方程求解节点；b.求圆a和曲线y=f(x)的公切线PT的斜率，且43各程序段误差δ均相等，程序段数目最少，是直线段逼近非圆曲线的拟合方法中一种较好的拟合方法。但计算过程比较复杂，必须由计算机辅助完成。③特点：44第四节列表