2015创新设计(高中理科数学)第4讲 离散型随机变量及其分布列

结束放映返回概要获取详细资料请浏览：知识与方法回顾技能与规律探究知识梳理结束放映返回概要获取详细资料请浏览：离散型随机变量(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②＝1随着试验结果变化而变化的变量称为，所有取值可以一一列出的随机变量，称为随机变量．随机变量离散型2.离散型随机变量的分布列及性质概率分布列p1＋p2＋…＋pn结束放映返回概要获取详细资料请浏览：常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()1.离散型随机变量(4)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布．()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(6)(教材习题改编)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3,4)，则P(2X≤4)＝0.7.()2.分布列的性质及两个特殊的概率分布结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页一是在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量，即存在统计规律性．因此，由随机变量的意义知(1)、(3)．离散型随机变量的特点离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率，如(6)；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布，如(4)、(5)；并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)，二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误，如(2)．分布列的两条性质结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【例1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3.P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.因此η＝|X－1|的分布列为：η0123P0.10.30.30.3离散型随机变量分布列的性质(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)若X是随机变量，则η＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求η取各值的概率，进而写出分布列．规律方法结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练1】随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.解析由题意知2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，则2b＝1－b，则b＝13，a＋c＝23，所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23.答案23离散型随机变量分布列的性质结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.∴取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.离散型随机变量的分布列【例2】(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．审题路线(1)编号为3的卡片来源有两类，利用古典概型求事件的概率．(2)根据任取4张卡片的不同情况确定X的所有可能取值，然后求出相应的概率，进而确定分布列，计算数学期望．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.离散型随机变量的分布列【例2】(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．(1)求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．规律方法结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练2】(2014·青岛质检)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．解(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121.所以X的分布列为X3456P5421021514121(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝133.离散型随机变量的分布列结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页超几何分布问题【例3】(2014·哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列．审题路线(1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气质量达到一级，利用古典概型可求第(1)问中的概率．(2)超标的天数X服从超几何分布．利用超几何分布的概率公式代入求解．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)，∴P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X的分布列为X0123P72421407401120超几何分布问题结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页规律方法(1)求解本题的关键在于：①从统计图表中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．超几何分布问题结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112超几何分布问题结束放映返回概要获取详细资料请浏览：．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．3．求概率分布的常见类型(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．----课堂小结----结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页山东金榜苑文化传媒有限责任公司课件部制作（见教辅）