第4章衍生金融工具的定价(1)(金融工程与风险管理-南京

1金融工程与风险管理第4章衍生金融工具的定价（1）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity24.1远期与期货的定价一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格为St，如果他签订一个在T（Tt）时刻卖牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。()rTtttFSeCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity3定理4.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足F0=S0erT。证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法来证明上述结论。假设F0S0erT，考虑下述投资策略：投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标的资产（longposition），借款期限为T，同时卖出一个单位的远期合约(shortposition)，价格为F0。在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息需要支出S0erT。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity4因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收入为F0-S0erT，而他的初始投入为0，这是一个无风险的套利。反之，若F0S0erT，即远期价格小于现货价格的终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F0。在T时刻，套利者收到投资本息S0erT，并以F0现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的利润。上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛盾，故假设不成立，则F0=S0erT。证毕。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity5如果这只牛在10天后交割，而这只牛在此期间会产下一头小牛，假定这只小牛的现值为I，那牛的远期价格该是多少？()()rTtttFSIe如果这只牛在交割后才会产下一头小牛，那牛的远期价格该是多少？Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity62.如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为q。由于具有红利率q，该资产的价格才为S0。若没有这个红利存在，则该资产的价格为()000()qTrTrqTFSeeSe0qTSe故有红利率q的资产，当前价格为S0，等价于价格为的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得0qTSeCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity7两个推论（可生息资产的远期价格）以上证明的是标的资产本身不带来利息的远期价格。如小麦远期。但是，对于持有期间可以生息的资产，则需要对公式进行调整，如债券远期。1.标的资产在远期合约到期前获得收益的现值为I，则()()rTtttFSIeCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity8证明：从单利到复利000000(1),(1)11(1)mmmqTqTmqTmIrSIrSrSrSeISSere若是某债券利息（单利）的现值，假定该债券的单利率是，则对于现值为的债券，其单利的终值为所以()000()rTrqTFSIeSe注意：债券的贴现率不等于无风险收益率Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity92.如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为q。由于具有红利率q，该资产的价格才为St，它等价于价格为()()()()()qTtrTtrqTttttFSeeSe()qTttSe的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity10敏感性分析()()()()()qTtrTtrqTttttFSeeSe()()()()(,)rqTtrqTtttttdFSrdSeSedr注意：（1）风险因素有两个，现货价格与无风险利率。（2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity11例4.1假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的合同利率为11％，请问1.理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理吗？2.该远期利率协议的价值是多少？Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity1211%310.5%212.0%(32)llssflsrtrtrtttstl0A()lskttAe()()0()()[]=[1]flslsssflsssrttkttrtkrttrtfAAeeeAeeCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity13()()010.52(0.110.12)(32)[1]1,000,000[1]8065.31flssskrttrtfAeeee由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。远期合约的价值总是从多方的视角来看的！Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity144.2期货合约——远期的组合三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。若7月1日购买了1份83天的期货合约，当日期货价格为0.61美元，次日为0.615美元。这等价于7月1日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价格为0.61美元7月2日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为82天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。思考：远期能否看成是期货的组合？Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity15讨论：期货与远期的差异假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限，多方损益日期期货价格（元）远期现金流期货现金流7月1日4007月2日4.105007月3日40-500Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity16讨论：期货与远期的差异1.如果利率固定，则期货合约和远期合约等价。（CIR定理）2.如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如何？显然，多方偏好期货合约，则期货合约价值上升，反之则反。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity17一般来说，远期与期货存在一定的差异：如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可以忽略不计。随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变得比较显著。若标的资产价格与利率正相关，则期货合约价值高于远期，反之则反利率上升→标的资产价格上升→多头获利实现（盯市）→再投资收益增加利率下降→标的资产价格下降→期货多头亏损→以低成本融资Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity18CIR定理：期货与远期等价CIR定理：如果利率固定（Constant），那么远期价格与期货价格相同。证明的思路：期货是一连串不断更新的远期。根据无套利定价的原理，可以让远期和期货相互复制。CIR的思路：以期货组合复制远期，由远期推断期货。远期：到期日结算（中间没有现金流）期货：每日结算（每日都有现金流）Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity19证明：（byCox，Ingersoll，Ross）假设期货合约的有效期为n天，用Fi表示第i天末（0in-1）的期货价格，δ表示每天的无风险利率（常数）。不计交易费用，考虑下述投资策略1.第0天末（即合约开始的时候）持有eδ单位的期货多头2.第1天末把头寸增加到e2δ3.第2天末把头寸增加到e3δ4.第n-1天末把头寸增加到enδCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity20Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity21也可以作如下分析：（1）在第0天末（第1天初）买进eδ单位的期货（2）在第1天末（第2天初）把头寸增加到e2δ，结清上一日的eδ单位（3）在第2天末（第3天初）把头寸增加到e3δ，结清上一日的e2δ单位…….（n）在第n－1天末（第n天初）把头寸增加到enδ单位，结清上一日的e(n-1)δ单位。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity221(),1,2,...,iiFFein第2天末盈亏的现值10()FFe第1天末盈亏的现值22121()()FFeeFFe第i天末盈亏的现值Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity231001()()()nnnTniiniFFeFFeSFe整个投资策略，在n天末的价值为第i天末盈亏的终值(1)11()(),1,2,...,nniiiiFFeeFFein111212110()[()(),...,()()]nnniiiiiiiFFeeFFFFFFFF相当于持有enδ单位的远期Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity24下面，以无套利分析方法来给出远期-期货等价证明。考虑两种投资策略策略1，构建包含两种资产的组合1：0时刻买进一个面值为F0的无风险债券，n时刻卖出；投资上述的期货组合T时刻，组合1价值为00().nnnTTFeSFeSe注意：初始投资仅为F0Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity25策略2：构建资产组合21.假设第0天的远期价格为G0,则在无风险债券上投资G02.第0天末买进enδ单位的远期合约在T时刻，组合的价值为00().nnnTTGeSGeSe注意：初始投资仅为G0Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2600().nnnTTFeSFeSe00().nnnTTGeSGeSe由于期末两个组合的价值相等，即则