结构的稳定计算

114结构的稳定计算2§16.1两类稳定问题概述结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象称失稳破坏，其相应的荷载称为结构的临界荷载。压杆的实际承载能力应为上述两种平衡荷载中的最小者。3所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为稳定平衡如小球受到干扰后失去回到原先的平衡位置的可能性，则称该状态为不稳定平衡如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为随遇平衡4结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。结构的失稳类型第一类失稳（分支点失稳）第二类失稳（极值点失稳）5FPOFPl第一类失稳的基本特征0FPcrI稳定II不稳定0FPFPcr时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。FP≥FPcr时，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。完善体系结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。6发生第一类失稳的还有：qFPFP他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路径。7l第二类失稳的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载能力。非完善体系是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。8他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。发生第二类失稳的情况：FPFPqFPFP9当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征FPΔllfFPOFPcr由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题10稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。11§16.2有限自由度体系的临界荷载确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为体系失稳的自由度。DOF=1DOF=2DOF=FPEI=FPEI=EI=EI=kkFP12主要计算方法：静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。13一、静力法在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。FPklFPkEI1=0OM0cossinRPθlFθlFθklkΔFsinR0sincosPθlθklF第一解：0θ第二解：cosPklFFR1、单自由度完善体系的分支点失稳yxOABAB14临界荷载：klFPcr0θ(1)大挠度理论FPFPcrI稳定II不稳定(2)小挠度理论cosPklFklFP大、小挠度理论临界荷载相同150OM)(sinPθlFFRFPklFPkl0)cos(RθlFRsinsinFklθεεPsincos1sinεFklθεθε2、单自由度非完善体系的极值点失稳yxOABAB160ddPF31sin)(sinθ2332P1cr(sin)FklεθεεθklFsinsin1cosPε＝00.5360.421.370.6950.381.471.57FP/klε0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klθOε＝0求极值点处的临界荷载1.00(1)大挠度理论17(2)小挠度理论εθklεθεklF1PklFPcrAFPklε＝00.0FP/klθ0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.41.6ε＝0B18•结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。•当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。•非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳。•第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精确解。分析结论19•第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。•第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。分析结论第一类失稳仍有其重要地位20例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr0Am06)(PlEIhFlhEIF6Pcr平衡方程特征方程特征根llhEI1=EIEIFPFPFPlEI3lEI3解：从临界平衡状态的两重性出发ABCDABCDAD06PlEIhF21y2y1EI=2kkABCFP2FPEI=ll2ky2ky12kkFP2FPABC0Bm0Am0121klyyyF)(P02222121klyklyyFyFPP0022221yyklFklFFklFPPPP例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。22稳定方程klklF5771423021..,PklFFF423021.),min(PPcrP0222klFklFFklFPPPPdet屈曲时可确定y1和y2的比值)(.)(.PPPPPP21123670361FFFFFklFyy位形图11.3610.367临界荷载23lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI=EI=EI=例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。24022PPPPFklFFFkl31klFPklF2P321klFFF),min(PPPcr121yy121yy11110221yFyFklPP)(0左CM0右BM0221yFklyF)(PP002221PPPPyyFklFFFkl25计算步骤：1中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态；2在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图；3建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程；4由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；5最小特征值即临界荷载。26多自由度体系失稳的基本特点：1多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；2具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n个可能失稳形态；3对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的；4真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。27二、能量法依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能EP取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（δEP=0）。该驻值条件等价于平衡条件保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：P2Pδ0δ0&EE稳定平衡P2Pδ0δ0&EE随遇平衡P2Pδ0δ0&EE不稳定平衡28PPUUE变形体系势能：=荷载势能+变形势能由广义坐标变分的任意性P012(,,)iEina关于广义坐标ai的齐次方程广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。关于广义坐标的总势能驻值条件：02211nnaaEaaEaaEEδδδδPPPP),,,(naaaEE21PP292211hFhFUPPP)cos(2262121lEIkU2621)(PPPhFlEIUUE例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=EIEIFPFPFPlEI3lEI3ABCDABCDAD系统总势能300PδElhEIF6Pcr06)(ddPPhFlEIE06dd22hFlEIEPP例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=EIEIFPFPFPlEI3lEI3ABCDABCDAD表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的31222122121lylyylyl)(2221211yyyyl)(P222121yykE22P11221()FyyyyllllkkFPABCDkkFPy1y2EI=EI=EI=例题：用能量法求图示体系的临界荷载FPcr.解：320221yFyFklPP)(022PPPPFklFFFklP01yE0221yFklyF)(PP321klFFF),min(PPPcrP02yE31klFPklF2P121yy121yy1111势能驻值条件特征向量方程组特征方程（非零解条件）特征值特征向量（失稳形态）临界荷载33kkFPABCD2kkFPy1y2EI=EI=EI=从能量角度观察失稳位移图形可以发现:当两种情况下铰结点(弹簧)位移数值相等时,反对称位移形态的D点水平位移较大。或者说，D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。y11kkFPy234§16.3无限自由度体系的临界荷载引入假定：1杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；2材料是线弹性的；3屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是静力法和能量法MEIy35FPFPlMyEI)(RPxlFyFM1.等截面压杆的临界荷载MFR静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。一、静力法yxO对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。ABAB361.等截面压杆的临界荷载)(RxlEIFyy2)(s