高等数学逆矩阵

在数的运算中,当数a0时,有aa-1=a-1a=1.在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得aa11为a的倒数,或称a的逆(元).其中AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.一、逆矩阵的概念和性质§2.3逆矩阵定义:对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.例如:设,21212121,1111BA由于AB=BA=E,所以,B为A的逆矩阵.说明:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有所以,A的逆矩阵是唯一的,即AB=BA=E,AC=CA=E,可得:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.B=C=A-1.解:利用待定系数法.例1:设,0112A求A的逆矩阵.是A的逆矩阵,dcbaB设100122badbca即100212badbca2110dcba又因为则解得,01122110,1001所以.21101A21100112即AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.则dcbaAB01121001,||11AAA证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.定理1:矩阵A可逆的充要条件是|A|0,且其中A*为矩阵A的伴随矩阵.故,|A||A-1|=|E|=1,所以,|A|0.由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,知当|A|0时,,||1||1EAAAAAA按逆矩阵的定义得,.||11AAA当|A|=0时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.证明:由AB=E得,|A||B|=|E|=1,推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1.故|A|0.因而,A-1存在,于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故结论成立.逆矩阵的运算性质(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.当|A|0时,定义A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).且此时对任意整数,,有AA=A+,(A)=A.(2)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且.111AA证明:(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.证明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.证明:因为AA-1=E,所以,|A||A-1|=|E|=1,因此,|A-1|=|A|-1.的逆矩阵.343122321A例2:求方阵解:因为343122321||A,02,2341211A,3331212A二、关于逆矩阵的计算所以A-1存在.同理可得,2,6,6232221AAA.2,5,4333231AAA,2432213A,222563462A所以,故AAA||11.11125323231,331212321A.1151531132B解:331212321||A010430321例3:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.014304所以,A可逆.,3332111A,4312212A,5311213A由于.3,4,1,1,0,3333231232221AAAAAA同理可得3323133222123121111||1||1AAAAAAAAAAAAA.31540413341所以,,01151531132||B由于故B不可逆.例4:求dcba的逆矩阵(ad–bc0).,dcbaA解:用伴随矩阵的方法求A逆阵.|A|=ad–bc0.A11=d,A21=–b,A12=–c,A22=a.设22122111AAAAA.acbd则A可逆且则.1||11acbdbcadAAA求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:,130231,3512,343122321CBA例5:设求矩阵X使其满足AXB=C.解:由于,02343122321||A,013512||B所以,A-1,B-1都存在.且先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得A的逆矩阵A-1.,222563462211A,25131B又由AXB=C,得A-1AXBB-1=A-1CB-1,251313023122256346221E则X=A-1CB-1.于是X=A-1CB-12513202011.41041012.41234151X例6:解矩阵方程解:给方程两端左乘矩阵,41511得412341514151415111XE例7:设方阵A满足矩阵方程A2–A–2E=O,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.证明:由A2–A–2E=O,得A(A–E)=2E,,)(21EEAA1A则故A可逆,且A-1=).(21EA41231154.642817412341511X所以,)]3(41[2EEAEA又由A2–A–2E=O,得(A+2E)(A–3E)+4E=O,1)2(EA则故(A+2E)可逆,且(A+2E)-1=).3(41AE,710004100021A例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,且求B.解:由于|A|=1/560,由A-1BA=6A+BA,得A-1BA–BA=6A,,700040002所以A可逆,且A-1=则(A-1–E)BA=6A,由于(A-1–E)=,600030001所以(A-1–E)可逆,且(A-1–E)-1=,6/10003/10001由A和(A-1–E)可逆可得:.100020006B=6(A-1–E)-1对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:nA2100若则其中,12···n0.nA11121100例9:设,2001,4121P且AP=PA,求An.解:由于|P|=2,.1124211P则An=PnP-1A=PP-1,A2=PP-1PP-1=PP-1=P2P-1,···,Am=PmP-1,,2001而,20012001200122,2001,nn11242120014121n.1222122211nnnn设(x)=a0+a1x+···+amxm为一m次多项式,A为阶方阵,记(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式.由于Ak,Al和E之间都是可交换的,所以方阵A的两个多项式(A)和(A)做矩阵乘法是可交换的,即总有(A)(A)=(A)(A)从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(2E–A)3=E–3A+3A2–A3.定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,亦即A=PBP-1,所以,相似矩阵有Am=(PBP-1)m=PBP-1PBP-1···PBP-1=PBmP-1.进一步有,若(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-1=P(a0E+a1B+···+amBm)P-1=P(B)P-1.即相似矩阵的多项式,有相同相似变换矩阵.Am=PmP-1;(A)=P()P-1.特别当矩阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似时,则m=diag(1m,2m,···,nm)又显然有则()=a0E+a1+···+amm,mnmmmnaaa212110111.)()()(21n四、小结逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵A-1存在当且仅当|A|0.逆矩阵的计算方法:(1)待定系数法;;||11AAA(3)初等变换法(下一章介绍).(2)伴随矩阵法:思考题思考题解答若A可逆,那么矩阵方程AX=B(或YA=B)是否有唯一解:X=A-1B(或X=BA-1)?若当A为奇异方阵时,上述方程可能有解但不唯一,也可能无解.是的!这是由A-1的唯一性决定的.