92全国中学生物理竞赛集锦(电磁学)答案

第21届预赛2004.9.5三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间t1＝l/v0（1）当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度qEam（2）而UEd（3）因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移21112yat（4）电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度vy＝at1（5）设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2t2＝（L－l/2）/v0（6）在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移y2＝vyt2（7）P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移y＝y1+y2（8）由以上各式得电子的荷质比为20vqymUlLd（9）加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即qE＝qv0B（l0）注意到（3）式，可得电子射入平行板电容器的速度0UvBd（11）代人（9）式得2qUymBlLd（12）代入有关数据求得111.610qmC/kg（13）评分标准：本题15分．（l）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分。五、用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知E＝Bl（v2－v1）（1）2IRE（2）令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则F＝IBl（3）令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知F＝ma1（4）Mg－T＝ma2（5）T－F＝ma2（6）由以上各式解得22211()2BlvvaRm（7）222122()2()MgRBlvvaMmR（8）评分标准：本题15分．（l）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、（8）式各2分。八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中BCR是虚线右方电路的等效电阻。由于B、C右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有BCBCRR（1）由电阻串、并联公式可得212BCBCBCRRR（2）由式（1）、（2）两式得220BCBCRR解得RBC＝2.0（3）图1所示回路中的电流为201024A=0.10A1030182I（4）电流沿顺时针方向。设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷图3图1图2的代数和应为零，即Q1＋Q2－Q3＝0（5）A、E两点间的电势差3113EAQQUUCC（6）又有(10300.10)V=7.0VEAUU（7）B、E两点间的电势差3223BEQQUUCC（8）又有(24200.10)V=26VBEUU（9）根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入C1、C2和C3之值后可得Q3＝1.3×10－4C（10）即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3×10－4C。评分标准：本题17分．求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。第21届复赛五、1．解法Ⅰ：如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，1q的位置应位于1OP的延长线上的某点B1处，2q的位置应位于2OP的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意有0111111BAqkPAqk(1)0212212BAqkPAqk(2)怎样才能使(1)式成立呢？下面分析图1中11AOP与11BOA的关系．若等效电荷1q的位置B1使下式成立，即211ROBOP＝(3)即1111OBOAOAOP(4)则1111BOAAOP∽△△B2B1P2P1OR1aa图1S1A1有RaOAOPBAPA111111(5)由(1)式和(5)式便可求得等效电荷1q11qaRq(6)由(3)式知，等效电荷1q的位置B1到原球壳中心位置O的距离aROB21(7)同理，B2的位置应使2112BOAAOP∽△△，用类似的方法可求得等效电荷22qaRq(8)等效电荷2q的位置B2到原球壳中心O位置的距离aROB22(9)解法Ⅱ：在图1中，设111rPA，111rBA，dOB1．根据题意，1q和1q两者在A1点产生的电势和为零．有01111rqkrqk（1＇）式中21221)cos2(RaaRr（2＇）21221)cos2(RddRr（3＇）由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得)cos2()cos2(22212221RaaRqRddRq（4＇）（4＇）式是以cos为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意均成立，等号两边的相应系数应相等，即)()(22212221aRqdRq（5＇）aqdq2121（6＇）由（5＇）、（6＇）式得0)(2222aRdRaad（7＇）解得aRaRad2)()(2222（8＇）由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得aRd2（9＇）由（6＇）、（9＇）式有212221qaRq（10＇）考虑到（1＇）式，有11qaRq（11＇）同理可求得aROB22（12＇）22qaRq（13＇）2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、1q、q2、2q共同产生，即ABaRAPABaRAPkqUA22111111(10)因221cos2ararAP22221cos2aRaRrrAB222cos2ararAPB2B1P2P1OR1aaA图2S22222cos2aRaRrrAB代入(10)式得422222cos2cos21RraRraRararkqUA422222cos2cos21RraRraRarar(11)评分标准：本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9)式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．第2问2分，即(11)式2分．七、解法Ⅰ：当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势21vvBlE(1)当回路中的电流i随时间的变化率为ti时，回路中的自感电动势tiLLE(2)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0LEE(3)金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有CmVm20v(4)得20vCV(5)VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．现取一新的参考系S，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O，取坐标轴xO与x轴平行．设相对S系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u，则有uVC1v(6)uVC2v(7)因相对S系，两杆的总动量为零，即有0ummu(8)由(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(7)、(8)各式，得tiLBlu2(9)在S系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x，在t＋t时刻，它的坐标为xx，则由速度的定义txu(10)代入(9)式得iLxBl2(11)若将x视为i的函数，由（11）式知ix为常数，所以x与i的关系可用一直线方程表示biBlLx2(12)式中b为常数，其值待定．现已知在t＝时刻，金属杆ab在S系中的坐标x＝021x，这时i=0，故得0212xiBlLx(13)或0212xxLBli(14)021x表示t＝时刻金属杆ab的位置．x表示在任意时刻t，杆ab的位置，故021xx就是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示，021xxX(15)当X0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得XLBli2(16)这时作用于ab杆的安培力XLlBiBlF222(17)ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期LlBmT222π2(18)在任意时刻t，ab杆离开其初始位置的位移tTAXπ2cos(19)A为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度tTTAuπ2sinπ2(20)(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，即X=0速度00002121vvvvCVu故有cos0Asinπ220TAv解这两式，并注意到(18)式得2π3(21)22400mLBlTAvv(22)由此得ab杆的位移tTmLBltTmLBlXπ2sin222π3π2cos2200vv（23）由(15)式可求得ab杆在S系中的位置tTmLBlxxπ2sin222100abv(24)因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S系中，cd杆的位置tTmLBlxx2sin222100cdv(25)相对地面参考系S，质心以021vCV的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考系中的位置tmLBlmLBltxx2sin2221000abvv(26)cd杆在S系中的位置tmLBlmLBltx2sin222100cdvv（27）回路中的电流由(16)式得tmLBlLmtTmLBlLBli2sin2π2sin22200vv(28)解法Ⅱ：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为21vvBlE(1’)令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有BluLE(2’)当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有tiLLE(3’)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0LEE由式(2’)、(3’)两式得tiLBlu(4’)设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x，在t＋t时刻，ab相对于cd杆的距离为x＋x，则由速度的定义，有txu(5’)代入(4)式得iLxBl(6’)若将x