第8章VaR模型(2)(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

1金融工程与风险管理第8章VaR模型（2）28.1基本分布形式金融市场的风险因子并不完全满足正态分布，以正态分布假设来计算风险就可能低估风险对中国股市的实证研究：2000.1.4~2006.5.9年日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，故必须寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布050100150200250300350-0.05-0.000.05Series:R_SZZSSample11520Observations1519Mean5.60e-05Median0.000143Maximum0.094014Minimum-0.065430Std.Dev.0.013451Skewness0.751425Kurtosis8.916269Jarque-Bera2358.298Probability0.000000-6-4-202468-.08-.04.00.04.08.12R_SZZSNormalQuantileTheoreticalQuantile-Quantile58.1.1学生t分布1221/2--101()(1)2(,),()()2(.)()ntanxnfxnnnnGammaaetdt为自由度为函数，W.S.Gossett(1908)discoveredthedistributionthroughhisworkattheGuinnessbrewery.Atthattime,Guinnessdidnotallowitsstafftopublish,soGossettusedthepseudonymStudent.6比较正态分布与t分布Matlab程序：x=-5:0.1:5;y=tpdf(x,5);z=normpdf(x,0,1);plot(x,y,'-',x,z,'-.')-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.47t分布参数的极大似然估计连续分布的MLE当X的分布是连续的，其概率密度函数为f(x,θ),其中θ为未知参数。现在从该总体中获得容量为n的样本观测值x1,x2,…,xn,则在X1=x1，X2=x2，Xn=xn时候联合概率密度函数值，即为似然函数1()(;)niiLfx对于不同的θ，同一组样本观察值的似然函数也是不同的，那么通过选择一个θ使得ˆ()max()LL8t分布参数的极大似然估计通常为了求导方便，常对似然函数取对数，即对数似然函数()ln(())()0,1,2,...jlLljk上式即为似然方程，解该方程即可得到参数θ。9t分布参数的极大似然估计Matlab函数：phat=mle(data，‘distribution’，‘dist’)对于t分布，phat=mle(data,'distribution','t')下面以上证指数2000~2006的数据为例进行输入数据：szzs-日对数回报率估计参数：phat=mle(szzs,'distribution','t')结果：phat=-0.00010.00943.7904t分布的分位数计算X=tinv(P,V)computestheinverseofStudent‘stcdfwithparameterVforthecorrespondingprobabilitiesinp。122111/2((1)/2)(1/)()()(/2)()cnxcnxnxFcFdxnn函数：X=tinv(P,V)X=tinv(0.99,9.701492)，X=2.7795X=tinv(0.99,inf)，X=2.326311基于t分布的VaR基于t分布MLE，日标准差为0.0094自由度为3.7904，99%分为数置信度的分位数X=tinv(0.99,3.7904)，X=3.86410()(exp()exp())1(exp(0.0001)exp(0.00013.86410.0094))0.0357cRVaRtvTTxT基于正态分布得到的VaR为0.0307，显然低估风险8.1.2广义误差分布在JPMorgan的Riskmetric操作文件中提供GED（GeneralizedErrorDistribution）分布来拟合重尾分布。[(1)/](2/)1/21[exp[/]2(,)2(1/)2(1/)[](3/)xfx衰减因子22为重尾参数，为重尾，为瘦尾RiskMetric-正态分布标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的2222211,~(0,1)()0,()()(1)ttttttttttttriidNErVarrVarr回忆：维纳过程16指数移动平均指数移动平均对时间序列中的数据不采取等权重，他根据历史数据距离当前时间的远近，分别赋予不同的权重，距离现在越近，赋予的权重越大。1121111,...,,101,...,,1,...,1/(1)(1)ntttnnnnitiixxxEWMAifnEWMAx11212112122221232221232211ˆ(1)(1)()(1)(1)(,...)(1)(1)(,...)(1)ittiiittiiitiittttttttxxrrrrrrrrrrRiskMetric-GED22211,~GED()(1)tttttttrr[ExpReturn,ExpCovariance]=ewstats(RetSeries,DecayFactor,WindowLength)计算步骤：1、用MLE估计GED分布的参数V2、计算分位数和衰减因子λ3、通过EMAW计算方差，得到标准差，4、计算VaR198.1.3g&h分布g&h分布首先由Tukey提出，随后Hoaglin、Martinez等、MacGillivary等进一步完善了该分布的统计特性。Mills和Brdrinath等应用g&h分布估计了股票以及股票指数的回报，Tian探索了该分布对期权定价的适用性。研究表明，g&h分布由于考虑了峰度和偏度，以及分布具有非线性的特征，故能更好地拟合资产回报的波动。20g&h分布g&h分布的本质是两个标准正态分布的非线性变换。若随机变量Z~N(0,1),则可以定义满足g&h分布族的随机变量2,exp()1()()exp()2ghgZhZXzg等式右边的第1项称为g分布，g表偏度参数第2项称为h分布，h表峰度参数若引入位置参数A和刻度参数（Scalingfactor）B，则可以构成一个完整的g&h分布函数2,,exp()1()()exp()()2ghghgZhZYZABABXzg2,001,0lim()~(,)1,0()[exp()1]ggYZABZNABghYzABZ1,01,0()()1exp()ln(1)YzAYzAZZBB22g&h分布t分布，Weibull分布，Logistic分布、柯西（Cauchy）分布等都可以通过设置不同的参数值从该分布的变换得到由此可见，该分布具有非常好的柔性，对于金融资产特有的尖峰重尾分布形态，g&h分布也能较为准确地拟合。g&h分布的几个重要性质1,~(0,1),()ghZNYZZ是关于的严格增函数g&h分布与（标准）正态分布之间具有一一对应关系。2.若A＝0，则有,,,()()()ghghghYZYZYZ这说明改变偏度参数g的符号，仅改变偏度的方向，而不改变偏度的绝对值。24310.50.51g()ln()ccccyygzyy0.50.50zyA位置参数A可以通过估计样本的中位数得到。40.5,gc若置信水平由分布得到0.5110.510.50.5exp()1()exp()1()1()ln()ccccccccgzyyBggzyyBgyyggzyy25补充证明10.510.510.50.5exp()1exp()1exp()1exp()11111exp()11()ln()ccccccccccccccyygzyygzgzgzgzgzgzgzyygzyy26由性质4和性质1可知，对于不同的正态分布分位数zc则有不同的gc与之对应，故可以由10.50.51()ln()ccccyyggzyy计算得到{gc}序列，并由该序列对2{},1,2,...,nkczk序列进行“非线性分位数回归”得到参数g的最大似然估计方程2460123().....ccccgzaazazazczcg上式表示与之间可能存在非线性关系。由方程得到的系数，就可以由于正态分布的分位数估计参数g。275.对于给定的g，则参数B和参数h满足如下等式21()ln[]ln()2cccccgzgzgyyzBhee给定g值2,,exp()1()()exp()()2ghghgZhZYZABABXzg22(1)/cchzgzcyABeeg21121(1)/cchzgzcyABeeg221,cccczzzz2211()()exp()ln[]ln()22ccccccccccgzgzgzgzgyyhzgyyzBBheeee282122()ln[]ln(),2,()ln()22cccccgzgzccgyyzBheezzgfBh由方程已知得到截距lnB（从而得到刻度参数B）和峰度参数h一元回归方程由此，我们就可以将g&h分布的四个参数全部估计出来，估计的关键是样本序列要求得其在不同置信水平下的分位数，将其与正态分布建立函数关系，故称为“分位数回归法”。29基于g&h分布的VaR根据VaR的定义，它是资产的损益在某个置信水平（如99％）的下分位数，在g&h分布的下211exp()1[()exp()]2cccgzhzVaRyABg由Y序列直接给出了分布的形式，故其分位数就是VaR所对应的值，这类似于历史模拟法和蒙特卡洛模拟中直接由分布计算VaR。30实证分析：流动性风险本文收集了郑百文（600898）1996年12月17日到2000年8月21日共888个交易日的价差数据，全部数据来自CSMAR数据库。郑百文长期业绩不佳，2001年2月19日，郑百文向上交所申请停牌，因此，该股票的投资者面临着流动性风险，这里由价差估计流动性VaR郑百文创下上市公司净亏2.54亿元的最高纪录，1999年，郑百文一年亏损达9.8亿元，再创深沪股市亏损之最，1999年12月郑百文欠建行20多亿元债务。310100200300400-0.3-0.2-0.10.00.1Series:RSample2886Observations885Mean-0.007082Median-0.007679Maximum0.142736Minimum-0.310169Std.Dev.0.035351Skewness-0.776705Kurtosis12.50144Jarque-Bera3417.959Probability0.000000价差的回报分布不满足正态分布，因此，若用正态分布来估计VaR，则存在较大的误差，故采用g&h分布来计算VaR32参数估计1.由样本内数据计算得到中位数A=-0.008673；然后，计算对应于各个置信水平下郑百文对数回报的分位数1－c下分位数y1－cc上分位数yc1/4(0.25)－0.0253500.