22.1-第一型曲面积分-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量.由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属“黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.§1第一型曲面积分数学分析第二十二章曲面积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社第一型曲面积分的概念示小曲面块iS的面积，(,,)iiiiS为中任意一点，12{,,}nTSSS,其中为曲面块的分割，iS表类似第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S，量为极限i||||01lim(,,),niiiTiS||||TTiS为分割的细度，即为诸中的最大直径.且密度函数在S上连续时，(,,)xyz§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算后退前进目录退出曲面块S的质数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社定义1||||01lim(,,),niiiiTifSI在S上的函数.iS的面积,若存在iS(,,)(1,2,,),iiiin上任取一点在且与分割的取法无关,(,,)iiiT及§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算设S是空间中可求面积的曲面,为(,,)fxyz定义个小曲面块(1,2,,),iSin对曲面S作分割T,它把S分成n极限记小曲面块iS以1||||maxiinTS的直径，分割T的细度则称此极限为上的第一型曲面积分,(,,)fxyzS在数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社定义1(,,)d.(1)SIfxyzS于是,前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示(,,)1fxyzdSS特别地,当时,曲面积分就是曲面块S的面积.(,,)d.SmxyzS§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算记作为:第一型曲面积分的性质完全类似于第一类曲线积分,请读者自行写出.数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社定理22.1第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.为S上的连续函数,则设有光滑曲面:(,),(,),SzzxyxyD(,,)fxyz22(,,)d(,,(,))1dd.xySDfxyzSfxyzxyzzxy(2)(定理证明与曲线积分的定理20.1相仿,不再详述.)§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社1d,SSzS其中例1计算2222xyza是球面被平面(0)zhha所截得的顶部(图22-1).xyhOza221图定义域D为S222,zaxy解曲面的方程为圆域2222.xyah由于222221,xyazzaxy§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社222dddSDSaxyzaxy因此由公式(2)求得222202dahrarar2πln.aah222π2200ddaharrar22220πln()ahaar§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社例2计算()d,SxyzxyzSS22zxy其中为圆锥面被圆柱面222xyax所割下的部分(图22-2).解对于圆锥面22,zxy有222图yxO22zxy222xyaxz2222,,xyxyzzxyxy§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算2212;xyzz因此Sxy222():().xyDxaya在平面上的投影为而数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社()222()dd.xyDxyxyxyxy()dSIxyzxyzS用二重积分的极坐标变换,§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算Iπ442π242(sincossincos)cosdattttttπ454206482cosd2.15attaπ2cos32π022(sincossincos)ddattttttrr数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社对于由参量形式表示的光滑曲面(,),:(,),(,),(,),xxuvSyyuvuvDzzuv§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算在S上第一型曲面积分的计算公式则为2((,),(,),(,))dd,(3)DfxuvyuvzuvEGFuv(,,)dSfxyzS其中222222,,.uuuuvuvuvvvvExyzFxxyyzzGxyz数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社螺旋面(图22-3)的一部分::0,02π.Duav例3计算d,SIzS其中S为cos,:sin,(,),,xuvSyuvuvDzv223图Ozy(,0,0)ax2S§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算222uuuExyz解先求出22cossin1,vvuvuvuvFxxyyzz=sincossincos0,uvvuvv222vvvGxyz2222sincos1uvuv21;u数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社221.EGFu§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算21ddDIvuuv2220121ln122auuuu2221ln1.aaaa然后由公式(3)求得:2π200d1davvuu数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社22()d,SJyzSS例4计算曲面积分其中是球面2222.xyza§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算2222222:,.Szaxyxya2222221:,;Szaxyxya解(解法一)记22222222()2ddxyaaaxxyaxy122222()d()dSSJyzSyzS根据计算公式(2),并使用极坐标变换,可得数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算2222π0022cos2ddaararrar2202222πdaararrar22220πdaaaattat48π.3a数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社222222222coscoscossinsin,Eaaaa§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算sincos,sinsin,cos,xayaz(,)[0,π][0,2π].S(解法二)的参数方程为按(3)式计算如下:22()d,SJyzSS例4计算曲面积分其中是球面2222.xyza2sincossincosFa22222222sinsinsincossin,Gaaa2sincossincos0,a数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社222222(sinsincos)sinddDJaaa2422sinsin;EGFaa2422200d(sincoscos)sinda2π42240182sincosdπ.33aa§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社22(,,),(,,),(,,).fxyzxgxyzyxyzS(解法三)令由于关于平面Sxy(,,)xyz对称,且在对称点与(,,)yxzS(,,)(,,),fxyzgyxz处有(,,)d(,,)d,SSfxyzSgxyzS22dd.SSxSyS即类似地,有22dd.SSxSzS§1第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算22()dSyzS22d3SaS由此得到因此2222()d3SxyzS223aS48.3a数学分析第二十二章曲面积分高等教育出版社质量分布的密度函数为(,,).xyz试导出曲面块S(,),(,),zzxyxyD1.设可求面积的曲面S的方程为的重心和转动惯量公式.2.试讨论第一型曲面积分的轮换对称性.3.给出第一型曲面积分的中值定理,并加以证明.4.模仿定理20.1的证明,写出定理22.1的证明.复习思考题