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第35讲解直角三角形的应用考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点一1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫坡角．3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．解直角三角形的应用中的相关概念考点二日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．直角三角形的边角关系的应用(1)(2010·温州)如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于()A.34B.43C.35D.45(2)(2010·湖州)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()A．53米B．10米C．15米D．103米(3)(2010·深圳)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念．准确掌握直角三角形的两锐角间的关系、三边之间的关系、边角关系是解题的关键．【解答】(1)由勾股定理得，∠θ的邻边＝l2－h2＝102－62＝8.由三角函数的定义得tanθ＝∠θ的对边∠θ的邻边＝68＝34，故选A.(2)∵坡比是坡面铅直高度BC和水平宽度AC的比值，∴BC∶AC＝1∶3.而BC＝5米，∴AC＝BC·3＝53米，故选A.(3)在Rt△APC中，AP＝402，∠A＝45°，则AC＝PC＝PA·sinA＝402×22＝40.在Rt△PBC中，PC＝40，∠B＝30°，则BC＝PCtanB＝4033＝403.所以海轮行驶的路程AB＝AC＋BC＝40＋403(海里)．(2010·长沙)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度．【点拨】把实际问题转化为数学问题，注意两个转化：一是把实际问题的图形转化为数学图形，画出正确的平面或截面示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边角关系．如果所转化的示意图不是直角三角形，可添加辅助线构造直角三角形．【解答】在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3，∴AD＝3.在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，∴tan60°＝CAAD.∴CA＝33，∴BC＝CA－BA＝33－3(米)．答：路况显示牌BC的高度是(33－3)米．1．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为(C)A．8米B．83米C.833米D.433米2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(A)A．5mB．6mC．7mD．8m3．AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(D)A.6sin52°米B.6tan52°米C．6cos52°米D.6cos52°米4．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米)．参考数据sin12°≈0.21cos12°≈0.98tan5°≈0.09答案：(1)2.1米(2)13.5米5．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．MN是否穿过原始森林保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732)答案：MN不会穿过原始森林保护区(提示：求出点C到MN的距离，与200作比较)考点训练35解直角三角形的应用训练时间：60分钟分值：100分解直角三角形的应用训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2009中考变式题)如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为()A．12mB．10mC．8mD．7m【解析】设旗杆高为xm，利用相似三角形的对应边成比例可得88＋22＝3.2x，∴x＝12(m)．【答案】A2．(2009中考变式题)如图，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为()A．5tan60°mB.5sin60°mC.5tan60°mD.5cos60°m【解析】因为sin60°＝5AC，∴AC＝5sin60°(m)．【答案】B3．(2009中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50m，则小岛B到公路l的距离为________m．()A．25B．253C.10033D．25＋253【解析】过点B作BE⊥AD于E，设BE＝x，在Rt△ABE中，AE＝xtan30°，在Rt△CBE中，CE＝xtan60°，∴AC＝AE－CE＝xtan30°－xtan60°＝50，解得x＝253，即小岛B到公路l的距离为253m.【答案】B4．(2011中考预测题)如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100m，点C在BD上，则山高AB为()A．100mB．503mC．502mD．50(3＋1)m【解析】在Rt△ABC中，易求BC＝AB；在Rt△ABD中，BD＝ABtan30°.∵CD＝100，∴BD－BC＝100，即ABtan30°－AB＝100，解得AB＝50(3＋1)m.【答案】D5．(2009中考变式题)某人沿着坡度i＝1∶1的山坡走了500米，这时他的垂直高度上升了()A．500米B．5002米C．250米D．2502米【解析】500÷2＝2502(米)．【答案】D【答案】A6．(2009中考变式题)如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是()A．15米B．12米C．9米D．7米【解析】过点A、B作AE⊥DC，BF⊥DC，则AE＝BF＝4米，∵AEDE＝23，∴4DE＝23，∴DE＝6.同理CF＝6，EF＝AB＝3，∴DC＝6×2＋3＝15(米)．7．(2011中考预测题)如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为60°，则该高楼的高度大约为()A．82米B．163米C．52米D．70米【解析】由题意可求得AC＝DC＝60米，在Rt△ABC中，AB＝AC·sin60°＝60×32＝303≈52米．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗杆高出建筑物顶)，仰角为30°，看旗杆与地面的接触点，俯角为60°，则旗杆的高为()A.43hB.32hC.54hD.23h【解析】在Rt△AED中，AE＝htan60°＝33h，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝33h×33＝13h，∴CD＝h＋13h＝43h.【答案】A9．(2009中考变式题)如图，在高为2m，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要()A．[2＋(3＋1)]mB．4mC．2(3＋1)mD．2(3＋3)m【解析】地毯的长度至少需要2＋2tan30°＝2＋23＝2(3＋1)m.【答案】C10．(2009中考变式题)如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为()A．9米B．28米C．(7＋3)米D．(14＋23)米【解析】作DE⊥AB于E，DF⊥BC的延长线于F，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝8米，∴DF＝CD·sin30°＝4(米)，CF＝CD·cos30°＝43(米)，∴DE＝BF＝(20＋43)米，BE＝DF＝4(米)．根据平行投影可知：AEDE＝12.∴AE＝12DE＝(10＋23)米，∴AB＝AD＋BE＝(14＋23)米．【答案】D二、填空题(每小题4分，共20分)11．(2010·宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是________米．(精确到0.1米)【解析】在Rt△ABC中，BC＝ACtan15°＝3tan15°≈11.2(米)．【答案】11.212．(2011中考预测题)某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人就可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端．现有一个长6米的梯子，则使用这个梯子最高可以安全地爬上________米高的墙．【解析】如图，在Rt△ABC中，sinA＝BCAB，∴BC＝AB·sinA＝6×32＝33米．【答案】3313．(2010·义乌)课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是________米．(结果保留3个有效数字，3≈1.732)【解析】由题意可得AB＝BC·tan30°＝24×33≈13.9.【答案】13.914．(2009中考变式题)如图，某景区要修建一段登山阶梯AB，每个台阶的高度不能超过20厘米，已知AB＝15米，∠BAC＝30°，这段阶梯最少要修建________个台阶．【解析】在Rt△ABC中，BC＝AB·sin30°＝15×12＝7.5米，7.5×10020≈38.【答案】3815．(2011中考预测题)如图是一台起重机的示意图，它的机身AM高为20.5米，吊杠AB的长是36.7米，吊杠与水平方向的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作的最大高度为________米，最远水平距离是________米．(精确到0.1米)【解析】最大高度为：20.5＋36.7×sin80°≈56.6米，最远水平距离为36.7×cos30°≈31.8米．【答案】56.631.8三、解答题(共40分)16．(12分)(2010·陕西)在一次测量活动中，同学们要测量某公园湖的码头A与它正东方向的亭子B之间的距离，如图，他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得点P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上测得的数据求出码头A与亭子B之间的距离．(结果精确到1米．参考数据：3≈1.732，tan43°≈0.933)解：过点P作