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第42课时解直角三角形［学生用书P24］本课时复习主要解决下列问题.1.解直角三角形的概念，边角之间的关系，解直角三角形此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第1，2题.2.利用解直角三角形的知识解决实际问题此内容为本课时的重点，也是难点.为此设计了［归类探究］中的例2；［限时集训］中的第3，4，5，6，7，8，9，10题.［学生用书P24］1.解直角三角形的概念定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由这些元素中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一个是边），求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形的解法依据：如图42-1，一般方法：（1）已知斜边和一直角边（如斜边c，直角边a），其解法一般是：由sinA=ac求∠A，进而求∠B=90°-∠A，b=c2-a2；（2）已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A），其解法一般是：∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA；注意：（1）当已知条件或是待求量中有斜边时，就用正弦或余弦求解；无斜边时，应用正切；当所求元素中既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；当原始数据和中间数据均可选择时，在不增加计算难度的情况下，应采用原始数据，这样可减少“链式错误”和“积累误差”；（2）当已知直角三角形中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角形的基本方法进行求解.3.解直角三角形的应用应用：（1）仰角与俯角：如图42-2,在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2）坡角与坡度：如图42-3，坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点竖直距离与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡.（3）方位角：如图42-4，方位角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.注意：（1）应用解直角三角形知识解决实际问题，关键在于将实际问题转化为解直角三角形这一数学问题；（2）对于不存在直角三角形的实际问题，应结合已知条件，恰当地构造直角三角形来解答.类型之一利用解直角三角形测量物体的高度（或宽度）［2010·青岛］如图42-5，小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110）类型之二利用解直角三角形解决航海问题［2010·无锡］在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图42-6），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【解析】（1）确定∠BAC=90°后解直角三角形；（2）设BC与l交于点F，求出AF的长度，与AM、AN作比较，得出结论.解：（1）由题意，得∠BAC=90°，(2)能．作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则AD=ABcos∠BAD=20，BD=ABsin∠BAD=203,CE=ACsin∠CAE=43，AE=ACcos∠CAE=12，∴DE=AD+AE=32.∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴DFEF=BDCE,∴EF+∴EF=8，∴AF=AE+EF=20.∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．【点悟】求与三角形有关的实际数据，一般地是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，从各方位角中计算出角的大小，再直接利用直角三角形求实际距离.