2011中考数学复习课件：第33讲 相似三角形

第33相似三角形考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点一定义：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．考点二1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．考点三1．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．两角对应相等的两个三角形相似．3．三边对应成比例的两个三角形相似．相似三角形的定义相似三角形的性质相似三角形的判定(1)(2010·北京)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于()A．3B．4C．6D．8例(1)题例(2)题(2)(2010·烟台)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD(3)(2010·临沂)如图，∠1＝∠2，添加一个条件：________，使得△ADE∽△ACB.【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定．【解答】(1)∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB＝AEAC，34＝6AC，∴AC＝8.故选D.(2)∵△ABC∽△DBA，∴ABDB＝BCAB，即AB2＝BC·BD，故选A.(3)答案不唯一，如∠D＝∠C或∠E＝∠B或ADAC＝AEAB.1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(B)A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶12．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于(A)A.12B.22C.32D.33(第2题)(第3题)3．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果BEBC＝23，那么BFFD＝23.4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得△ABC∽△ADE.(第4题)答案不唯一，如∠B＝∠D或∠C＝∠AED或ABAD＝ACAE等．(第5题)5．已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC，取AB的中点F，连结FD交AC于点E.(1)求AEAC的值；(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．答案：(1)AEAC＝23(2)AC＝32a(第6题)6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连结BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC.又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA＝∠DCA.∴△ABE∽△ADC.考点训练33相似三角形训练时间：60分钟分值：100分相似三角形训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2009中考变式题)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()【解析】观察△ACB得∠ACB＝135°，被选项中只有A图三角形含135°角．【答案】A2．(2011中考预测题)如图，在△ABC中，若DE∥BC，ADDB＝12，DE＝4cm，则BC的长为()A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD＋DB＝DEBC，即13＝4BC，∴BC＝12cm.【答案】B3．(2010·上海)下列命题中，是真命题的为()A．锐角三角形都相似B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等边三角形都相似【解析】本题考查相似三角形的判定方法．【答案】D4.(2011中考预测题)小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为()A.815米B．1米C.43米D.85米【解析】利用相似三角形的判定与性质，易得0.8h＝66＋4，∴h＝43.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P在()A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处【解析】若△ABC∽△PBD，则∠DPB＝∠CAB＝135°，而P3点满足这一条件．【答案】C6．(2010·苏州)如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上，若BD＝CD，∠B＝∠CDE，DE＝2，则AB的长度是()A．4B．5C．6D．7【解析】∵∠B＝∠CDE，所以AB∥DE.因为BD＝CD，则DE为△ABC的中位线，则AB＝2DE＝4.【答案】A7．(2010·河南)如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAE＝ABAC.其中正确的有()A．3个B．2个C．1个D．0个【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC，BC＝2DE.由DE∥BC得△ADE∽△ABC，ADAB＝AEAC或ADAE＝ABAC.【答案】A8．(2010·黄冈)如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为()A.13B.12C.23D．无法确定【解析】过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F.∵PE⊥AC，∴∠PEA＝∠PED＝∠QFC＝90°.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝∠QCF＝60°.∵PA＝CQ，∴Rt△PAE≌Rt△QCF.∴AE＝CF，PE＝QF，∴AE＋DE＝CF＋DE，即AC＝EF＝1.∵∠PDE＝∠QDF，∴Rt△PDE≌Rt△QDF，∴DE＝DF，∴DE＝12EF＝12×1＝12【答案】B9.(2009中考变式题)如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A、B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】如图所示的三条直线l1、l2、l3.【答案】C10．(2011中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【解析】设树高为x米，则10.4＝x－0.34.4＋0.2，解得x＝11.8(米)．【答案】C11．(2011中考预测题)如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A.ABAD＝ACAEB.ABAD＝BCDEC．∠B＝∠DD．∠C＝∠AED【解析】由∠1＝∠2可得∠BAC＝∠DAE.所以添加另一对角相等或两边对应成比例均能判相似．【答案】B12．(2010·武汉)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD⊥DC，BD＝DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N.下列结论：①BH＝DH；②CH＝(2＋1)EH；③S△ENHS△EBH＝EHEC.其中正确的是()A．①②③B．只有②③C．只有②D．只有③【解析】如图，∵CE平分∠BCD，若BH＝DH，则BC＝CD，与事实矛盾，∴①错误；过E作EF⊥CD交CD延长线于点F，则四边形ENDF是矩形，∴EF＝DN＝BE.在Rt△BEN中，BN＝NE＝22BE，∴CD＝BD＝BN＋ND＝(1＋2)NE.∵NE∥CD，∴EHCH＝ENCD＝11＋2，∴CH＝(2＋1)EH，故②是正确的；③S△ENH∶S△EBH＝EH∶EC也正确．∵S△ENH∶S△EBH＝NH∶BH，∠NEH＝∠DCH＝∠ECB，∠ABH＝∠BEN＝∠CBH＝45°，∠BEH＝∠BEN＋∠NEH，∠EHB＝∠CBH＋∠ECB，∴∠BEH＝∠EHB，∴BE＝BH.∵BE＝DN，∴DN＝BH.∵EN∥DC，∴EH∶EC＝NH∶DH，∴EH∶EC＝NH∶BH，∴S△ENH∶S△EBH＝EH∶EC.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2010·上海)如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝________.【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB＝ADAC，∴AB·AD＝AC2，则AB＝4，所以BD＝AB－AD＝3.【答案】314．(2010·陕西)如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连结CD.要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是________．【解析】∠ACD＝∠B、∠ADC＝∠ACB或ADAC＝ACAB，答案不唯一，只需写出一个条件即可．【答案】∠ACD＝∠B15.(2011中考预测题)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝______.【解析】分情况讨论，①当△ABC∽△AEF时，ABAE＝ACAF，∴93＝6AF，∴AF＝2；②当△ABC∽△AFE时，ABAF＝ACAE，∴9AF＝63，∴AF＝4.5.【答案】2或4.516．(2010·兰州)如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米．【解析】∵BCDE＝ACAD，即1.81.5＝ACAC－1，解得AC＝6.【答案】6三、解答题(共36分)17．(12分)(2009中考变式题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE.(1)当BD＝3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F，求证：△FAE是等腰三角形．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵BD为直径，∴∠DEB＝90°.在△ACB和∠DEB中，∠C＝∠DEB，∠ABC＝∠DBE，∴△ACB∽△DEB，∴ACDE＝ABBD，∴3DE＝53，∴DE＝95.(2)证明：∵∠AEF＋∠FED＝90°，∠FED＝∠B，∴∠AEF＋∠B＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠AEF，∴FA＝FE，∴△AFE为等腰三角形．18．(12分)(2010·珠海)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.在Rt△ADE中，DE＝AD2＋AE2＝332＋32＝6.∵△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD，∴336＝AF4，∴AF＝23.19．(12分)(2011中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30cm、40cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？解：在图①中设正方形的边长为x，则DE＝x，AD＝30－x∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°∴△ADE∽△ACB，∴ADAC＝DEBC，即30－x30＝x40，解得x＝1207.在图②中过点C作CP⊥AB，垂足为P，CP交DG于Q.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CP，∴CP＝AC·BCAB＝30×4050