梁的横向强迫振动

6.6梁的横向强迫振动1．主振型的正交性这里讨论简单边界的梁的主振型正交性，梁可以是变截面或非匀质的。重写式（6.117）如下：（6.117）（6.126）设、分别是对应于固有频率及的主振型，由上式有（6.127）（6.128）式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有（6.129）利用分部积分，上式左边可写为AYEJY2)(iiiAYEJY2)(jjjAYEJY2)(ljiilijdxYAYdxEJYY020)(ljilijlijlijdxYEJYEJYYEJYYdxEJYY0000)(')'()(0)(2AYEJY)(xYi)(xYjij由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以上式右边第一、二项等于零，成为（6.130）将式（6.130）代入（6.129），得（6.131）式（6.128）乘以并沿梁长对x积分，同样可得到（6.132）式（6.131）与（6.132）相减后得（6.133）如果时有，由上式必有当（6.134）ljilijdxYEJYdxEJYY00)(ljiiljidxYAYdxYEJY020lijjlijdxYAYdxYEJY0200)(022ljijidxYAYjiji00ljidxYAYji)(xYi式（6.134）即梁的主振型关于质量的正交性，再由（6.132）及（6.130）可得当（6.135）当（6.136）上面两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当时，式（6.133）总能成立，令（6.137）（6.138）常数、分别称为第j阶主质量及第j阶主刚度，由式（6.132）得知它们有下列关系：（6.139）如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定：（6.140）00ljidxYEJYji0)(0lijdxEJYYpjljMdxAY02pjljljjKdxYEJdxEJYY020)()(pjMpjKpjpjjMK2)(xYjjC,...2,1102jMdxAYpjljjiji则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度为。上式与（6.134）可合写为（6.141）由（6.135）、（6.136）及（6.138）则得（6.142）（6.143）2．梁横向振动的强迫响应重写梁的横向强迫振动方程（6.113）如下：（6.144）将梁的挠度按正则振型展开为如下的无穷级数：（6.145）pjK2jijljidxYAY0ijjljidxYEJY20ijjlijdxEJYY20)(),(),(222222txmxtxptyAxyEJx1)()(),(iiitxYtxy)(xYi其中是正则坐标，上式代入（6.144）后得上式两边乘以并沿梁长对x积分，有由正交性条件（6.141）与（6.143），上式成为（6.146）式（6.146）即第j个正则坐标方程，其中（6.147）即第j个正则坐标的广义力，由分部积分上式还可写为（6.148）假定量的初始条件为（6.149）)(ti),(),()(11txmxtxpYAEJYiiiiii)(xYjljiljiiilijidxxYtxmxtxpdxYAYdxEJYY01010)(),(),()()(2tqjjjjljjdxxYtxmxtxptq0)(),(),()()(tqjljjjdxxYtxmxYtxptq0)('),()(),()()(),()0,(201xftyxfxyt将式（6.145）代入（6.149），有上面两式乘以并沿梁长对x积分，由正交性（6.141）得（6.150）式（6.150）即第j个正则坐标的初始条件，于是式（6.146）的解为（6.151）11)0()()()0,(iiixYxfxy120)0()()(iiitxYxfty)(xAYjljjljjdxxYxAfdxxYxAf0201)()()0()()()0(ljjjjjjjjjdtqttt0)(sin)(1sin)0(cos)0()(ijljidxYAY0将形如上式的各个正则坐标响应代入（6.145），即得到梁在初始条件下对任意激励的响应。若是零初始条件，梁对任意激励的响应则为（6.152）如果作用在梁上的载荷不是分布力及分布力矩，而是图6-13所示的集中力P（t）及集中力矩M（t），利用第一章介绍的函数，它们可表示为（6.145）100100)(sin),(),()()(1)(sin1)(),(jltjjjjjtljjjjdxdtxmxxpxYxYdtdxYxmpxYtxy)(x1)()(),(iiitxYtxy（6.153）（6.154）上面两式代入（6.148）后得到下列正则坐标的广义力：（6.148）（6.155）上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用导数的筛选性质（见（1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为（6.156）现在来考虑等截面匀质梁对简谐激励的稳态响应，除了可用上述振型叠加法求解外，也可以用直接解法求。假设在梁上作用有下列简谐激振分布力：（6.157）)()(),(1xtPtxp)()(),(2xtMtxm)(')()()()(')()()()()()(21021jjljjjYtMYtPdxxYxtMxYxtPtq)(x10201)(sin)()(')(sin)()()(1),(jtjjtjjjjdtMYdtPYxYtxytxptxpsin)(),(ljjjdxxYtxmxYtxptq0)('),()(),()(方程（6.114）可写为（6.158）其中，设梁的稳态响应为（6.159）代入（6.158）后得（6.160）其中，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得其中、分别是与的拉氏变换，由上式解出txpEJtyaxysin)(1122244AEJa2txwtxysin)(),()(1)()(4xpEJxwxwIV224a)(1)()(44spEJswsws)(sw)(sp)(sw)(sp441)()(sEJspsw已知的拉氏逆变换是，从而根据拉氏变换的卷积性质得到非齐次特解为这样，方程（6.160）的通解为（6.161）上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出的代入（6.159），即得到梁的稳态响应。441s)sin(213xxshxdxxshpEJxw03)(sin)()(21)(xdxxshpEJxshCxchCxCxCxw0)(sin)()(32143sin2cos1)()(xw例6.5如图6-14所示，一简支梁在其中点受到常力P作用而产生静变形，求当力P突然移去时梁的响应。解：由材料力学得知初始条件为0)(2432043)()0,(20331xftylxllxllxlylxlxlxyxfxytstst其中为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率及主振型为将主振型代入（6.140）的归一化条件，得（6.140）从而得知正则振型中的系数。由式（6.150）算出正则坐标的初始条件为（6.150）EJPlyst483,...2,1sin)(,...2,14222ilxiCxYiAlEJialiiii12sin202iliCAldxlxiCA)(xYiAlCi2,...2,1102jMdxAYpjljljjljjdxxYxAfdxxYxAf0201)()()0()()()0(因没有激振力，正则广义力等于零，由式（6.151）得（6.151）ttiiicos)0()(ljjjjjjjjjdtqttt0)(sin)(1sin)0(cos)0()(0)0(,...5,3,1)1()1(48sin43sin43)0(21444214423203iiiiistllistlistiiCEJiAPlilCAydxlxiClxllxlAydxlxiClxlxAy于是梁的自由振动为由上式可见，梁在中央受常力作用产生的静变形只激发起对称振型的振动。本题中梁的自由振动是由于静载荷突然移去而引起的，与例6.1一样，用下面的方法计算正则坐标的初始位移可以避免计算静载荷作用下的静变形。,...3,142143,...3,1214441cossin)1(2cos)1(sin)()(),(iiiiiiiiiiitlxiiEJPltEJiACPllxiCtxYtxy)0(j)0,(xy设作用于梁的静载荷是分布力，因加速度为零，从式（6.144）得到将代入上式，得上式两边乘以，并沿梁长对x积分，由正交性（6.143）得到对本题，因而由上式有将代入上式，即得到与前面相同的结果。)(xpst)(02222xpxyEJxstt1)0()()0,(iiixYxy)()0()(1xpEJYstiii)(xYjljstjjdxxYxp02)()(1)0()2()(lxPxpst,...5,3,1)1(2sinsin)2(1)0(212202iPCiiPCdxlxiClxPiiiiliji4442AlEJii例6.6图6-15的简支梁在中央作用有集中力矩，求梁的稳态响应。解：由例6.5已知正则振型为其中，固有频率为，由式（6.155）求出正则广义力为tMsin0,...2,1sin)(ilxiCxYiiAlCi2alii2tiliCMtqiisin2cos)(0其中，第i个正则方程为由上式求出正则坐标的稳态响应为于是梁的稳态响应为由上式看出在梁中央作用的集中力矩只激发起反对称振型的振动。,...)4,2()1(2cos2iiitiliCMiiiisin2cos02tiliMCtiiisin2cos1)(022,...4,2222201022sin)1(sin2sin2cos1sin),(iiiiiiilxiitAlMtiliMClxiCtxy