【中考真题】2019湖南省长沙市中考·数学试题

湖南省长沙市2019年中考数学试题一、选择题1.下列各数中，比﹣3小的数是()A.﹣5B.﹣1C.0D.12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为()A.91510B.91.510C.101.510D.110.15103.下列计算正确的是()A.325ababB.326()aaC.632aaaD.222()abab4.下列事件中，是必然事件的是()A.购买一张彩票，中奖B.射击运动员射击一次，命中靶心C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和是180°5.如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°6.某个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A.B.C.D.7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的()A.平均数B.中位数C.众数D.方差8.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A.2πB.4πC.12πD.24π9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°10.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A.303nmileB.60nmileC.120nmileD.(30303)nmile11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是()A.4.50.51yxyxB.4.521yxyxC.4.50.51yxyxD.4.521yxyx12.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CDBD的最小值是()A.25B.45C.53D.10二、填空题13.若式子5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．14.分解因式：am2﹣9a=_________________．15.不等式组10360xx的解集是_______．16.在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．17.如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．18.如图，函数kyx(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则23k；④若25MFMB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．三、解答题19.计算：112()632cos602．20.先化简，再求值：223144()11aaaaaaa，其中a＝3．21.某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查随机抽取了名学生；表中m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．23.近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，111111ABBCCDABBCCD，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求21SS的值．25.已知抛物线22(2)(2020)yxbxc(b，c为常数)．（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n(m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有121221mnmyn，求m，n的值．26.如图，抛物线26yaxax(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当33a，∠CAE＝∠OBE时，求11ODOE的值湖南省长沙市2019年中考数学试题一、选择题1-6ACBDCD7-12BCBDAB二、填空题13.x≥514.a(m+3)(m﹣3)15.12x16.0.417.10018.①③④三、解答题19.计算：原式2221=1.20.原式212=122aaaaaaa3a，原式3=521.（1）本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生，m=50×40%=20，n=650×100=12，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000×21+2050=1640人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∵ABADBAEADFAEDF，BAEADF≌，BEAF，（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，22224415BEABAE，在RtABE中，1122ABAEBEAG431255AG，23.（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）2=2.42，解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增长率为10%．（2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．24.解（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）证明：分别连接BD，B1D1111BCDBCD，且1111BCCDBCCD111BCDBCD∽，111CDBCDB，111CBDCBD，111111BDBCCDBDBCCD，1111BDABBDAB，111ABCABC，111ABDABD，111ABDABD∽，1111ADABADAB，1AA，111ADBADB，11111111ABBCCDADABBCCDAD，111ADCADC，1AA，111ABCABC，111BCDBCD四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.（3）如图2中，∵四边形ABFG与四边形EFCD相似DEEFAEAB，EFOEOF，DEOEOFAEAB，EFABCD，DEOEADAB，DEOCOFADABAB，DEDEOEOFADADABAB，2DEDEADAE，ADDEAE，21DEAEAE，2AEDEAE，即AE=DE121SS，25.（1）由题可设2211yx去括号得：y=－2x2+4x－12420201bc，b=6，c=2019（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为00,xy、00,xy代入解析式可得：20002000222020222020yxbxcyxbxc两式相加可得：－4x02+2（c－2020）=0c=2x02+2020∵x≠0，2020c＞，（3）由（1）可知抛物线为y=－2x2+4x－1=－2（x－1）2+1，∴y≤1，∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有121221mnmyn，11ynm，11m，即m≥1，∴1≤m＜n，∵抛物线对称轴x=1，开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x增大而减小，∴当x=m时，ymax=－2m2+4m－1，当x=n时，ymin=－2n2+4n－1，又11ynm，2212411241nnnmmm①②，将①整理得：2n3－4n2+n+1=0∴变形得：（2n3－2n2）－（2n2－n－1）=0即：2n2（n－1）－（2n+1）（n－1）=0∴（n－1）（2n2－2n－1）=0∵n＞1∴2n2－2n－1=01132n（舍去），21+32n同理整理②得：（m－1）（2m2－2m－1）=0∵1≤m＜n∴m1=1，2132m（舍去），31+32m（舍去）∴综上所示：m=1，1+32n26.（1）令ax2+bax=