双线性函数

§3双线性函数定义3V是数域P上一个线性空间，),(f是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量,，根据f都唯一地对应于P中一个数),(f.如果),(f有下列性质：1）),(),(),(22112211fkfkkkf;2）),(),(),(22112211fkfkkkf,其中2121,,,,,是V中任意向量，21,kk是P中任意数，则称),(f为V上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V上双线性函数),(f，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1欧氏空间V的内积是V上双线性函数.例2设)(),(21ff都是线性空间V上的线性函数，则Vfff,,)()(),(21是V上的一个双线性函数.例3设nP是数域P上n维列向量构成的线性空间.nPYX,再设A是P上n级方阵.令AYXYXf),(,(1)则),(YXf是nP上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121nnyyyYxxxX，并设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211则ninjjiijyxaYXf11),(.(2)（1）或（2）实际上是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数),(f的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V的一组基n,,,21.设Xxxxnnn),,,(),,,(212121,Yyyynnn),,,(),,,(212121,则ninjjijininjjjiiyxfyxff1111),(),(),(.(3)令njifajiij,,2,1,,),(,nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211则（3）就成为（1）或（2）.定义4设),(f是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数.n,,,21是V的一组基，则矩阵),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnfffffffffA(4)叫做),(f在n,,,21下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V的一组基n,,,21后，每个双线性函数都对应于一个n级矩阵，就是这个双线性函数在基n,,,21下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P上一个n级矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211对V中任意向量Xn),,,(21及Yn),,,(21，其中),,,(21nxxxX，),,,(21nyyyY用ninjjiijyxaAYXf11),(定义的函数是V上一个双线性函数.容易计算出),(f在n,,,21下的度量矩阵就是A.因此，在给定的基下，V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n,,,21及n,,,21是线性空间V的两组基：Cnn),,,(),,,(2121,是V中两个向量12121),,,(),,,(XXnn,12121),,,(),,,(YYnn那么11,CYYCXX如果双线性函数),(f在n,,,21及n,,,21下的度量矩阵分别为BA,，则有1111)()()(),(YACCXCYACXAYXf.又11),(BYXf.因此ACCB这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5设),(f是线性空间V上一个双线性函数，如果0),(f对任意V，可推出0，f就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(f在基n,,,21下的度量矩阵为A，则对Xn),,,(21,Yn),,,(21，有AYXf),(如果向量满足Vf,0),(,那么对任意Y都有0AYX因此0AX而有非零向量X使上式成立的充要条件为A是退化的，因此易证双线性函数),(f是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6),(f是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V上任意两个向量,都有),(),(ff,则称),(f为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量,都有),(),(ff则称),(f为反对称双线性函数.设),(f是线性空间V上的一个对称双线性函数，对V的任一组基n,,,21，由于),(),(ijjiff故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(f在n,,,21下的度量矩阵是对称的，那么对V中任意两个向量Xn),,,(21及Yn),,,(21都有),(),(fAXYXAYAYXf.因此),(f是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5设V是数域P上n维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,,,21，使),(f在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(f在n,,,21下的度量矩阵为对角矩阵，那么对niiiniiiyx11,,),(f有表示式nnnyxdyxdyxdf222111),(.这个表示式也是),(f在n,,,21下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1设V是复数上n维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,,,21，对V中任意向量niiiniiiyx11,，有)0(),(2211nryxyxyxfrr.推论2设V是实数n上维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,,,21，对V中任意向量niiiniiiyx11,，有)0(),(1111nrpyxyxyxyxfrrpppp.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.定义7设V是数域P上线性空间，),(f是V上双线性函数.当时，V上函数),(f称为与),(f对应的二次齐次函数.给定V上一组基n,,,21，设),(f的度量矩阵为nnijaA.对V中任意向量niiix1有ninjjiijxxaf11),(.(5)式中jixx的系数为jiijaa.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为nnijaA及nnijbB只要njibbaajiijjiij,,2,1,,,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6设),(f是n维线性空间V上的反对称双线性函数，则存在V的一组基srr,,,,,,,111使.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(skVfjifrifkjiii(6)从定理5可知，V上的对称双线性函数),(f如果是非退化的则有V的一组基n,,,21满足.,0),(;,,2,1,0),(ijfnifjiii前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V的对于),(f的正交基.而从定理6可知，V上的反对称双线性函数),(f如果是非退化的，则有V的一组基rr,,,,11使.0,0),(;,,2,1,1),(jifrifjiii由于非退化的条件，定理6中的s,,1不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V，也可以将这些双线性函数看成V上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8设V是数域P上的线性空间，在V上定义一个非退化线性函数，则V称为一个双线性度量空间.当f是非退化对称双线性函数时，V称为P上的正交空间；当V是n维实线性空间，f是非退化对称双线性函数时，V称为准欧氏空间；当f是非退化反对称双线性函数时，称V为辛空间.有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记为),(fV.