连续型随机变量及其分布-、

连续型随机变量及其分布第二章一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第四节()fx一、连续型随机变量的定义定义1.设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负xduufxXPxF)()()(＝＝，使对任意实数,xxf则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为,,~xxfXx有函数规律就得到了全面描述.若已知密度函数，该连续型随机变量的概率分布1.概率密度()0fx³2.概率密度的性质⑴非负性⑵归一性()1fxdx＝()()1Ffxdx＝由于可由下图表示f(x)1x0面积为1这两条性质是判定一个函)(xf是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。数{}0PXa==a⑶对于任意实数，有这是因为0{}lim{}xPXaPaxXa0lim{()()}xFaFax0=这里事件{}Xa=并非不可能事件，但{}0PXa==可见由()0PA=，不一定能推出A=F由()1PB=，不一定能推出BS=称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.{}{}PaXbPaXb=?ab⑷对于任意的数有{}PaXb=?{}PaXb=＃()bafxdx=òf(x)1x0ab连续型随机变量X落在某区间[,]ab上的概率()Fx=在该区间上的改变量()fx=在该区间上的积分(与端点是否在内无关)图中阴影部分()()FbFa=-()fx()(,)Fx在-??⑸分布函数上连续，且密度函数不唯一（在个别点的值可不同）。⑹概率密度()fx在点x处连续，则有()()Fxfx¢=0limxFxxFxfxx0limxPxXxxx即0()limxxxxxftdt如果把概率理解为质量，],(xxx故X的密度)(xfx上的概率与区间长度之比的极限。这里，相当于线密度。)(xf区间在这一点的值，恰好是X落在x{}PxXxxfxx这表示X落在小区间上的概率近似地等于fxx。若不计高阶无穷小，有：],(xxxxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。()fx0()fxdxdxx2111解()fxxx211例1求下列函数是否为概率密度函数是显然的；dxx20211arctan|x02212故f(x)可以作为密度函数。，则的密度函数为设xfXxFxfxx2111解的分布函数为设连续型随机变量XxxxFarctan121的密度函数．试求X例2例3设X的分布函数为21000xexFxx求.32xfXPXP解2XP3XP2F41e31F31XP6exFxf22000xexx例4设X是连续型随机变量，其概率密度为2,||1,()10,||1.Axfxxxìïïïï=í-ïï³ïïî求⑴常数A；⑵{||1/2}PX；⑶X的分布函数。解⑴由()1fxdx+?-?=ò得1211Adxx-=-ò则1/Ap=11arcsin|1AxAp-==()()xFxfxdx-?=ò121221{||1/2}1PXdxxp-=-ò⑵1/21/211arcsin3xp-==⑶当1x-时，()0Fx=当11x-?时，()Fx=2111xdxxp-+-ò10dx--?ò1-1x0,1,11()arcsin,11,21,1.xFxxxxpì-ïïïïï=+-?íïïï³ïïî11()arcsin2Fxxp=+得当1x³时，1211()11Fxdxxp-==-ò所以由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.分布函数离散型r.v的分布函数连续型r.v的分布函数分布函数的性质概率分布律与分布函数的关系概率密度与分布函数的关系二、几种常用的连续型随机变量1.均匀分布定义若随机变量X的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作1ba-x)(xfab1,()0,axbfxba其它~[,]XUab均匀分布的密度函数的验证；，有⑴．对任意的0xfxbbaadxxfdxxfdxxfdxxf⑵．badxab1．110axbfxba其它~[,]XUab设，其中()fx是其密度函数，则有由此可知确是密度函数。lccdxxflcXcP)(}{1clcldxbaba因为均匀分布的概率背景(){}()xFxPXxfxdx-?=?ò均匀分布的分布函数当xa时，()0Fx=由于当axb＃时，1()0axaxaFxdtdtbaba-?-=+=--蝌当xb时，()1Fx=由上可知均匀分布的分布函数为xbbxaabaxaxxF10abxF(x)01图形如下书103页，例2.27解依题意，X～U[0,30]以7:00为起点0，以分为单位1,030,()300,.xfxother随机变量，例1某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀试求他候车时间少于5分钟的概率.所求概率为：}3025{}1510{XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3。240XD=-?210tXt++=例2设随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为2{40}{2}{2}pPXPXPX=-???而X的概率密度为1/5,16,()0,.xfxothersì＃ïï=íïïî从而60241/50.5pdxdx-?=+=蝌作业8122页11、1213、14⒉指数分布若随机变量X的概率密度为：000xxexfx指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中)0(l()fxx0的概率密度的图形指数分布的分布函数为0100xexxFx密度函数的验证是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX~；，有⑴．对任意的0xfx00dxxfdxxfdxxf⑵．0dxex．1由此可知，确是一密度函数．000xxexfx0xe解,0003)(3xxexfx362(1){2}3xpXedxe(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布例3(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？由已知得X的概率密度为{3.5,1.5}{1.5}pXXX5.15.32XXP33.53xedx31.53xedx6e-=由⑴、⑵结果得：指数分布具有无记忆性，即PXstXs(0)PXtt解由题意知~(5,)Ybp，其中{10}pPX=现在X的概率密度为/51/50()00,xexfxx例4假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X服从指数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率1/5{1}PY。2255{}(1)kkkPYkCee---==-/5210{10}1/5xpPXedxe+?--===ò因此所以Y的分布律为(0,1,5)k=L于是{1}1{0}0.5167PXPX求⑴常数A;⑵该晶体管寿命不超过150小时的概率；⑶一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150小时后至少有一只失效的概率。例5(105页例2.39)某种晶体管的寿命X，其密度函数为2,100,()0,.Axxfxothers随机变量的函数的分布第二章一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第五节随机变量的函数设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X),则Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值为y=g(x)本节的任务：已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布(分布律或分布密度)一、离散型随机变量的函数的分布当X为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随机变量，并且在X分布律已知的情况下，求Y的分布律是很容易的。例1.已知X的分布律为求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴{3,1,1,3}YR{}{21}iiPYyPXy{1/2(1)}{}iiPXyPXx故Y的分布律为⑵{1,2,5}ZR{1}{0}0.2PZPX{2}{1}{1}0.4PZPXPX{5}{2}0.4PZPX故Z的分布律为注意⒈设(),1,2,kgxk互不相等时，则{()}{}kkPYgxPXxX1x2xnxP1p2pkpY1()gx2()gx()kgxP1p2pkp由可得⒉当()(),ijgxgxij，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。例2.设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似服从参数为22100,5的正态分布，奖金方法规定，若在100天内完成，则得超产奖10000万元；若在若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额Y的分布律。解依题意2~(100,5)XN5000,1151000,10011510000,100XYXX可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。115100{5000}{115}1()5PYPX1(3)10.99870.0013115100{1000}{100115}()(0)5PYPX0.4987{10000}{100}(0)PYPX0.5则Y的分布律为Ⅰ.分布函数法（一般的函数都适用）⑴先求()YgX的分布函数(),YFy(){}{()}YFyPYyPgXy()()()YXgxyFyfxdx⑵再利用()YgX的分布函数与概率密度之间的关系求()YgX的概率密度为YYfyFy三、连续型随机变量的函数的分布解⑴先求Y=2X+8的分布函数}{)(yYPyFY28.)()(yXYdxxfyF}28{}82{yXPyXP.,0,40,8)(其它xxxfX设随机变量X具有概率密度：例3试求Y=2X+8的概率密度Yfy()YFy8()2XyorF⑵()()YYFyfy利用可以求得：88()()()22YXyyfyf.,0,40,8)(其它xxXfX.,0,168,328)(其它yyyfY得Y=2X+8的概率密度为28.)()(yXYdxxfyF1818(),04,82220,.yy其它()()()(),()[()]()[()]().xxFxftdtFxfxxfxx,,(),.11120Xxfx其它设X~U(－1,1)，求Y=X2的分布函数与概率密度。例4解由已知得则Y的分布函数()()YXxyFyfxdx2当y0时，()0YFy;当y≥1时，()1YFy当0≤y1时，()(/)12