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现代控制理论直流电动机模型的分析姓名：李志鑫班级：测控1003学号：20100203030921直流电动机的介绍1.1研究的意义直流电机是现今工业上应用最广的电机之一，直流电机具有良好的调速特性、较大的启动转矩、功率大及响应快等优点。在伺服系统中应用的直流电机称为直流伺服电机，小功率的直流伺服电机往往应用在磁盘驱动器的驱动及打印机等计算机相关的设备中，大功率的伺服电机则往往应用在工业机器人系统和CNC铣床等大型工具上。[1]1.2直流电动机的基本结构直流电动机具有良好的启动、制动和调速特性，可以方便地在宽范围内实现无级调速，故多采用在对电动机的调速性能要求较高的生产设备中。直流伺服电机的电枢控制：直流伺服电机一般包含3个组成部分：+-NSn图1.1①磁极：电机的定子部分，由磁极N—S级组成，可以是永久磁铁（此类称为永磁式直流伺服电机），也可以是绕在磁极上的激励线圈构成。②电枢：电机的转子部分，为表面上绕有线圈的圆形铁芯，线圈与换向片焊接在一起。③电刷：电机定子的一部分，当电枢转动时，电刷交替地与换向片接触在一起。直流电动机的启动电动机从静止状态过渡到稳速的过程叫启动过程。电机的启动性能有以下几点要求：1）启动时电磁转矩要大，以利于克服启动时的阻转矩。2）启动时电枢电流要尽可能的小。3）电动机有较小的转动惯量和在加速过程中保持足够大的电磁转矩，以利于缩短启动时间。直流电动机调速可以有：（1）改变电枢电源电压；（2）在电枢回路中串调节电阻；（3）改变磁通，即改变励磁回路的调节电阻Rf以改变励磁电流。本文章所介绍的直流伺服电机，其中励磁电流保持常数，而有电枢电流进行控制。这种利用电枢电流对直流伺服电机的输出速度的控制称为直流伺服电机的电枢控制。如图1.2Eb负载Bm+激励线圈Tm电枢线路IfJmEaRaLaIa+-图1.2Ea——定义为电枢电压（伏特）。Ia——定义为电枢电流（安培）。Ra——定义为电枢电阻（欧姆）。La——定义为电枢电感（亨利）。Eb——定义为反电动势（伏特）。If——定义为励磁电流（安培）。Tm——定义为电机产生的转矩（牛顿•米）Bm——定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效粘带摩擦系数（牛顿•米∕度•秒−1）Jm—定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效转动惯量（千克•米2）。1.3建立数学模型电机所产生的转矩Tm，正比于电枢电流I与气隙磁通Φ的乘积，即：Tm=K1nIaΦ(1-1)而气隙磁通Φ又正比于激励电流If，故式（1-1）改写为Tm=K1K2IfIa=KIa(1-2)对于激磁电流If为常数，K1K2If合并为一个常数K,称为电机力矩常数。电枢电流I的正负即代表电机的正反转。当电枢转动时，在电枢中感应出与电机转轴角速度成正比的电压，称为反电动势，即Eb=Kbωm=Kbdθmdt(1-3)其中Kb称为反电动势常数。电机的速度是由电枢电压E控制，应用基尔霍夫电压定律导出电枢电流I的微分方程式为：LadIadt+RIa+Eb=Ea(1-4)电枢电流I产生力矩，用来克服系统含负载的惯性和摩擦，可得Jmd2θmdt2+Bmdθmdt=T=KIa(1-5)由式（1-3）与式（1-4）合并移项后可得：dIadt=−RaLaIa−KbLaωm+1LaEa(1-6)式（1-5）移项后可得：dωmdt=KJmIa−BmJmωm(1-7)将式（1-6）与式（1-7）以状态方程式来表示如下：ddt[Iaωm]=[−RaLa−KbLaKJm−BmJm][Iaωm]+[1La0]Eay(t)=[01][Iωm]+[0]Ea(1-8)令R=1、L=0.2、Kb=1、Bm=0.1、Jm=5、K=0.5,[1]p229,代入式(1-8)可得：A=[−RaLa−KbLaKJm−BmJm]=[−5−50.1−0.02]、B=[1La0]=[50]C=[01]、D=[0]设x1=Ia，x2=ωm，则𝐱̇=[−5−50.1−0.02]𝐱+[50]u𝐲=[01]𝐱1-92.1对所建的模型进行分析A=[−5−50.1−0.02];B=[01];C=⌊01⌋]2.2求矩阵的特征值和特征向量(1)特征值对于线性定常系统{𝐱̇=𝐀𝐱+𝐁𝐮y=Cx则|λI−A|=det(λI−A)=λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an称为系统的特征多项式，令其等于零，即得到系统的特征方程|λI−A|=λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an=0式中的A为n*n的系统矩阵。特征方程的根λi(i=1,2,…,n)称为系统的特征值。因为上述系统为线性定常系统，则|λI−A|=0所求的根为系统的特征值。解得λ1=−4.8975；λ2=-0.1125得到的系统特征根都为负，系统稳定。(2)特征向量设λi是系统一个特征值，若存在一个n维非零向量pi,满足Api=λipi或(λiI−A)Pi=0则称Pi为系统相对应于特征值λi的特征向量。2.3将状态方程化为对角标准型对于线性定常系统，若系统的特征值λ1，λ2，…，λn互异，必存在非奇异变换矩阵P，经过x=Px̃或x̃=p−1x的变换，可将状态方程化为对角线标准型，即X̃=[λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn]x̃+b̃uλ1和λ2互异，必存在非奇异变换矩阵P，经过x=Px̃的变换，将状态方程化对角为标准型。由APi=λiPi求出矩阵P1=[−0.99980.0205]P2=[0.7158−0.6983]P=[−0.99980.02050.7158−0.6983]P−1=[−1.0217−0.0300−1.0473−1.4628]X̃̇=P−1APX̃+P−1BUỸ=CPX̃X̃̇=[−4.897500−0.1225]X̃+[−1.0473−1.4628]UỸ=[0.0205-0.6983]X得到新的矩阵：A’=[−4.897500−0.1225];B’=[−1.0473−1.4628];C’=⌊0.0205−0.6983⌋2.4从状态空间表达式求取传递函数阵线性定常系统的状态空间表达式为：{𝐱̇=𝐀𝐱+𝐁𝐮y=Cx对上式取拉氏变换，可得sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)设初始条件X(0)=0，则有sX(s)=AX(s)+BU(s)X(s)=C(SI−A)−1BU(s)Y(s)=[C(SI−A)−1B]U(s)=G(s)U(s)得到传递函数：G(s)=C(sI−A)−1B代入数值：得到G(s)=0.5s2+5.02s+0.6根据传递函数可以写出新的能控标准Ι型的状态空间：ẋ=[01−0.6−5.02]x+[01]uy=⌊0.50⌋还可以写出标准ΙΙ型(能观型实现)ẋ=[0−0.61−5.02]x+[0.50]uy=⌊01⌋2.5系统状态空间表达式的求解设线性定常系统的齐次状态方程为ẋ=Ax(2-1)在这里初始值为t=t0,初始状态为x(t0)。系统齐次状态方程在初始状态x(t0)激励下的解x(t)(其中t≥t0)，称为系统的自由解或零输入解。设齐次状态方程的解x(t)为t的向量幂级数形式即x(t)=b0+b1t+b2t2+…++biti+…(2-2)式(2-2)代入式(2-1)，得b1+2b2+⋯+ibiti−1+…=A(b0+b1t+b2t2+…++biti+…)(2-3)由于式(2-2)是式(2-1)的解，所以式(2-3)对所有时间t均成立，故式(2-3)等号两边t的同次幂级数应相等，即b1=Ab0b2=12Ab1=12A2b0…bi=1iAbi−1=1i!Aib0…对式(2-2),若令t=0,可得b0=x(0)(2-4)x(0)为状态向量x(t)的初始值，即定常系统的初始状态。将bi(i=1,2,…)及b0代入式(2-2),得到x(t)=b0+Ab0t+12iA2b0t2+1i!Aib0ti+…=(I+At+12iA2t2+⋯+1i!Aiti+⋯)x(0)(2-5)仿照标量指数函数e−at展开成幂级数形式e−at=1+at+12iat2+⋯+1i!aiti+⋯(2-6)将式(2-5)括号内n*n矩阵的无穷项级数和称为矩阵指数函数，记为eAt,即eAt=I+At+12iA2t2+⋯+1i!Aiti+⋯(2-7)则齐次状态方程的解可表示为x(t)=eAtx(0)这里A=[−5−50.1−0.02];求eAt这里t=1s根据前面的分析，我们求出了系统的特征值和特征向量eAt=Pe∧tP−1eAt=[−0.0114−0.91860.01840.9035]2.6Lyapunov第二法分析系统的开环稳定性线性定常连续系统ẋ=Ax在平衡状态Xe=0处，渐进稳定的充要条件是：对给定的一个正定对称矩阵Q,存在一个正定的对称矩阵P,且满足矩阵方程：AΤP+PA=−Q而标量函数v(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。我们这里我们选定对称矩阵Q时，常取Q=I，于是得AΤP+PA=−I取I=[1001]求出P=[0.10130.06640.06648.3977]Δ1=P11=0.10130;Δ2=|P11P12P21P22|=|0.10130.06640.06648.3977|0由此可知P0,正定。系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。而系统的李式函数及其导函数分别为v(x)=xTPx0v̇(s)=xT(-I)x02.7系统开环阶跃响应05101520253035404500.10.20.30.40.50.60.70.80.9StepResponseTime(sec)Amplitude2.8系统的能控性和能观性1状态的能控性设线性定常系统的状态方程为ẋ(t)=A(t)+Bu(t)如果存在一个分段连续的输入信u(t),能在有限时间区间[t0,tf]内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf),那么，称此系统的状态是完全能控的，或简称系统是能控的。若系统n个状态变量中，至少有一个状态变量不能控时，则称此系统是状态不完全能控的，或简称系统是不可控的。若n*nm能控性矩阵Uc=[BAB…An−1B]的秩是n构造系统的能控矩阵,系统为二阶Uc=[BAB]Uc=[5−2500.5]其秩rankUc=2=n;原系统能控。2状态的能观性{ẋ(t)=Ax(t)+Bu(x)y(t)=Cx(t)如果对任意给定的输入信号u(t),在有限观测时间tft0，能够根据输出量y(t)在[t0,tf]内的测量值，唯一的确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，则称次系统的状态是完全能观测的，或简称系统是能观测的。若nm*n能观测性矩阵v0=[CCA…CAn−1]的秩是n构造系统的能观性矩阵，系统为二阶Vo=[CCA]Vo=[010.1−0.02]=2=n原系统能观2.9闭环系统的极点配置控制系统的性能主要取决于系统极点在跟平面上的分布。因此，在系统设计中，通常是根据对系统的品质要求，规定闭环系统极点应有的分布情况。所谓的极点配置就是通过选择反馈矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。设受控系统的的状态空间表达式为：{𝐱̇=𝐀𝐱+𝐁𝐮y=Cx通过状态反馈u=r-Kx能使其闭环极点任意配置的充要条件是系统完全能控。根据f(s)=|sI−(A−BK)|和f∗(s)=(s-λ1)(s-λ2)...(s-λn)使其s的多项式对应的系数相等，得到n个代数方程，即可求出K=[k1k2…kn]这里，用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值，目标是使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右。通过大量仿真，我找到了期望极点值P=[-5-0.5]所以得到K=[0.0960-3.7808]2.10状态观测器的设计设线性定常系统的状态空间表达式为{𝐱̇=𝐀𝐱+𝐁𝐮y=Cx将输出方程对t逐次求导，代以状态方程并整理可得y=Cxẏ-CBu=CAxÿ-CBu̇-CABu=CA2x...y(n−1)−CBu(n−2)−CABu(n−3)-...-CA(n−2)Bu=CA(n−1)x即[yẏ−CBu…