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4、角平分线（第2课时）第一章三角形的证明北师大版八年级数学下册：1.掌握三角形三条角平分线的性质定理.(重点)2.会用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题.(难点)三角形三条角平分线的性质定理如图,在△ABC中,∠ABC和∠BAC的平分线交于点P.作PD⊥BC于D,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E.∵P在∠ABC的平分线上,PD⊥BC,PF⊥AB,∴PF=___.同理PF=___.∴PD=___.又∵PD⊥BC,PE⊥AC,∴CP平分______.PDPEPE∠ACB【总结】1.三角形三条角平分线的交点情况:三角形的三条角平分线相交于_____.2.三角形三条角平分线的交点性质:三角形三条角平分线的交点到三条边的距离_____.一点相等(1)三角形三条角平分线的交点不止一个.()(2)三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部.()(3)三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.()(4)三角形两条角平分线的夹角一定是钝角.()×××√知识点三角形三条角平分线性质定理的应用【例】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,BC=5,∠ABC,∠ACB的平分线交于P点,PE⊥BC于点E,求BE·CE的值.【解题探究】(1)如图,过P作PF⊥AC于点F,作PG⊥AB于点G,连接AP,那么PG,PE,PF有什么关系?为什么?提示:PG=PE=PF.因为点P为△ABC角平分线的交点.(2)由图形可知S△ABC=S△ABP+S△BCP+_____,即AB·AC=AB·PG+BC·PE+_______,由此可得PG=PE=PF=__.(3)由PG⊥AB,PF⊥AC,可得∠PGA=______=90°=∠GAF.∴四边形PGAF是_____,∴AG=___=1.∴BG=AB-___=______.(4)由HL可知△BGP≌△BEP,因此BG=BE=__,∴CE=BC-BE=__,∴BE·CE=_______.12121212S△ACPAC·PF1∠PFA矩形PFAG3-1=2232×3=6【互动探究】例题中四边形AGPF是什么样的特殊四边形,为什么?提示:四边形AGPF是正方形.由探究可知AGPF是矩形,而PG=PF,故四边形AGPF是正方形.【总结提升】三角形三条角平分线之“一、二、三”(1)一个交点:三角形三条角平分线交于一点.(2)两条性质:①交点到三条边的距离相等;②交点在三角形的内部.(3)三类应用:①利用角平分线的性质求角的度数;②利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等;③确定到三角形三边距离相等的点.题组:三角形三条角平分线性质定理的应用1.如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是()A.P是∠A与∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC,AB两边上的高的交点D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点【解析】选B.点P到∠A的两边距离相等,则点P应在∠A的平分线上,又因PA=PB,∴点P又在AB的垂直平分线上.2.已知△ABC内一点P,如果点P到AB,AC两边的距离相等,则点P()A.在BC边的垂直平分线上B.在BC边的高上C.在∠BAC的平分线上D.在BC边的中线上【解析】选C.∵PE⊥AB,PF⊥AC,PE=PF,∴P在∠BAC的角平分线上,3.若O为△ABC内一点,且S△OAB∶S△OAC∶S△OBC=AB∶AC∶BC,则O点为()A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条高的交点C.△ABC三边中垂线的交点D.△ABC三条内角平分线的交点【解析】选D.若O为△ABC内一点,且S△OAB∶S△OAC∶S△OBC=AB∶AC∶BC,根据三角形的面积公式得到△ABC内一点O到三角形各边的距离相等,即O点为△ABC三条内角平分线的交点.4.如图,在△ABC中,BM,CM分别平分∠ABC和∠ACB,连接AM,已知∠MBC=25°,∠MCA=30°,则∠MAB的度数为()A.25°B.30°C.35°D.40°【解析】选C.∵BM平分∠ABC,∠MBC=25°,∴∠ABC=2∠MBC=50°.∵CM平分∠ACB,∠MCA=30°,∴∠ACB=2∠MCA=60°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°.∵在△ABC中,BM,CM分别平分∠ABC和∠ACB,∴AM平分∠BAC,∴∠MAB=∠BAC=35°.125.在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,当∠A=50°时,∠BOC=.【解析】∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°,∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=65°,在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.答案:115°1212126.如图所示,BD平分∠ABC,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,M,N为垂足.求证:PM=PN.【证明】在△ABD和△CBD中,AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.【想一想错在哪？】如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上一点,AE=AB,DB=DE.求证:AD是△ABC的角平分线.提示:BD,DE不是点D到角两边的距离,不能直接得到AD平分∠BAC.