惠州市2017届高三第一次调研考试数学理试题(含解析)

1惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知{1,2,4,8,16}A，2{|log,}ByyxxA，则AB（）A．{1,2}B．{2,4,8}C．{1,2,4}D．{1,2,4,8}2．若复数z满足iiiz|1|)1(，则z的实部为（）A．212B．21C．1D．2123．函数22332()2log(1)xxfxxx，若()1fa，则a的值是（）A．2B．1C．1或2D．1或﹣24．将函数2(sincos)2yxx图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是（）A．cos2xyB．3sin()24xyC．sin(2)4yxD．3sin(2)4yx5．已知圆22(2)(2)xya截直线20xy所得弦长为6，则实数a的值为（）A．8B．11C．14D．1726．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2B．3C．12D．137．设0a，0b，若2是4a和2b的等比中项，则21ab的最小值为（）A．22B．8C．9D．108．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A．219cmB．2224cmC．210624cmD．213624cm9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程ybxa的b约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）。A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元10．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，2AB，2SASBSC，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（）A．33B．1C．3D．33211．双曲线:M22221(0,0)xyabab实轴的两个顶点为,AB，点P为双曲线M上除AB、外的一个动点，若QAPAQBPB且，则动点Q的运动轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．已知()fx是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当01x时，2()fxx．如果函数()()()gxfxxm有两个零点，则实数m的值为（）2cm3cm侧视图3cm2cm1cm俯视图2cm正视图开始1,2kS11SSS2016?k=1kk结束S输出否是3A．2()kkZB．122()4kkkZ或C．0D．122()4kkkZ或第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知||4a，||2b，且a与b夹角为120°，则(2)()abab=________.14．已知5()axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a________.15．设1m，变量,xy在约束条件1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值为2，则m________.16．已知数列{},{}nnab满足*1121,1,()21nnnnnbaabbnNa，则2017b______.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若3cos()16coscosBCBC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若3a，ABC的面积为22，求,bc边长．418．（本小题满分12分）4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望()EX和方差()DX．附：22(),()()()()nadbcKnabcdabcdacbd非读书迷读书迷合计男15女45合计20()PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.8280.0300.0250.0200.0150.010O304050607080/时间分钟频率组距519．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，//ABCD，222ABADCD，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，且二面角PACE的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知点(1,0)A，(1,0)B，直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直线BM的斜率分别记为AMk与BMk，且2AMBMkk．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F作直线PQ与曲线C交于,PQ两点，OPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．ABCDEP621．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln()axfxxaRx．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：(1,2)x，不等式111ln12xx恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，AB是O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交O于点,MN．（Ⅰ）求证：,,,BEFN四点共圆；（Ⅱ）求证：22ACBFBMAB．ABCDMNEFO723．（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标和参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为且经过点(1,0)P．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为26cos50．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）设(,)Mxy为曲线C上任意一点，求xy的取值范围．24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|1|fxax．（Ⅰ）若()2fx的解集为[6,2]，求实数a的值；（Ⅱ）当2a时，若存在xR，使得不等式(21)(1)73fxfxm成立，求实数m的取值范围.8惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案CAAABACCDACD1.C【解析】由已知可得22222{log1,log2,log4,log8,log16}{0,1,2,3,4}B，所以{1,2,4}AB，所以选C.2.【解析】由(1)|1|2ziiii，得2(2)(1)21211(1)(1)22iiiziiii，则z的实部为212，故选A．考点：复数的代数运算3．【解析】若2a，则由()1fa得，231a，∴2a．此时不成立．若2a，则由()1fa得，23log(1)1a，∴2a，故选A．考点：函数的零点；函数的值．4．【解析】将函数2(sincos)sin()24yxxx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数1sin()24yx的图象；再向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为11sin()cos222yxx，故选：A．考点：三角函数的图象变换．5．【解析】圆22(2)(2)xya，圆心2,2，半径a．故弦心距22222d．再由弦长公式可得2911a；故选B．考点：直线与圆的位置关系．6．【解析】111,3;2,;3,;4,2,23ksksksks以4作为一个周期，所以2016,2ks，故选A97．【解析】因为422ab，所以21ab，21212529baabababab当且仅当baab即12ab时“=”成立，故选C考点：基本不等式；等比数列的性质．8．【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，其底面积为：122242，侧面积为：32232626；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：1212，侧面积为：33；∴组合体的表面积是π+62+4+6+3π=4π+10+62故选C．9．【解析】1245102635493,3044xy，中心点为3,30，代入回归方程得30273aa936yxx时57y考点：回归方程10．【解析】因为三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，2SASBSC，S在面ABC内的射影为AB中点H，SH平面ABC，SH上任意一点到,,ABC的距离相等．3SH，1CH，在面SHC内作SC的垂直平分线MO，则O为SABC的外接球球心．2SC，1SM，30OSM，233,33SOOH，即为O到平面ABC的距离，故选A．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．11.【解析】设2222(,),(,),1xyPmnQxyMab双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)AaBa(,),(,)QAxayPAman∵QA⊥PA，∴0xamany，可得,nymaxa10同理根据QB⊥PB，可得nymaxa两式相乘可得222222nymaxa∵点(,)Pmn为双曲线M上除A、B外的一个动点，22221mnab，整理得22222()bnmaa222221xbyaa故选：C．12.【解析】设10x，则01x，22()()fxxxfx，综上，2()fxx，1,1x，2()2fxxk，21,21xkk，由于直线yxa的斜率为1，在y轴上的截距等于a，在一个周期1,1上，0a时满足条件，14a时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，也满足条件．由于()fx的周期为2，故在定义域内，满足条件的a应是12024kk或，k∈Z．故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13.1214.615.1216.2017201813．【解析】4,2ab，且a与b夹角为120，2216,4ab，cos120abab14242，222212ababaabb，故答案为12．考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积．