格林公式

1格林公式及其应用一、格林公式二、平面曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积2D单连通区域1.单(复)连通区域及其边界曲线的正向.,,,复连通区域否则称为单连通区域是平面则称所围的部分都属于内任意一条闭曲线如果为平面区域　　设DDDD复连通区域D单连通区域就是没有“洞”的区域.一、格林公式3:,如下的正向我们规定的边界曲线　　对平面区域LLD.,始终位于他的左侧的这一方向行走时沿DLD2L1L复连通区域D的边界曲线L由和组成,1L2LD单连通区域D的边界曲线L的正向是逆时针方向.L逆时针顺时针方向为边界曲线L的正向.1L2L42.格林公式.,dd,),(),,(,1的正向边界曲线是其中则有上具有一阶连续偏导数在函数所围成由分段光滑的曲线　设闭区域定理DLdxdyyPxQyQxPDyxQyxPLDDL上述等式称为格林公式.注意,D可以是单连通域也可以是复连通域..,则不能用格林公式续的点的偏导数不连上有若QP、D5.ddDLyxyPPdxdxdyyPxQyQxPDLdd格林公式DyxyPdd,又;d)]}(,[)](,[{12baxxxPxxPbaxxxyxPd)],([)()(21)()1(如图是单连通区域时　DLxPdbaxxxPd)](,[1;d)]}(,[)](,[{21baxxxPxxP证abxxxPd)](,[2)(:22xyL)(:11xyLxyODabD.),(,:11baxxyxxL变到从.),(,:22abxxyxxL变到从.dddDLyxxQyQ类似可证.故格林公式成立)()(21ddxxbayyPx21ddLLxPxP6.,21正向边界的单连通区域为得到以割开沿辅助线将ABLBALABD)()2(如图是复连通区域时DD1L2LAB.dd)(成立DyxyPxQABLBALyyxQxyxP21d),(d),()1(知由BAABABBAyyxQxyxPd),(d),(又21d),(d),(LLyyxQxyxP要证证毕..dd)(DyxyPxQ(书中未证,P205例4用到)0.BABAABLBAL21ABBALL21为复连通区域DD1L2L21d),(d),(LLyyxQxyxP.dd)(DyxyPxQ为复连通区域D7Lyxxydd(1)计算平面区域的面积dxdyyPxQyyxQxyxPDLd),(d),(.dd21的面积所围区域是DLyxxyL.sin,cosAbyax所围成图形的面积求椭圆例1LyxxyAdd21解π20)sin(cos)cos(sin21bdaadbπ20d21ab.πab3.格林公式的简单应用顺便说一下格林公式的记忆方法Ddxdy)]1(1[,dd2Dyx8(2)简化曲线积分.)1,0(),0,1(),0,0(,dd4正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算LyxxxLxy)0,0()1,0()0,1(D由格林公式得所围区域为记,DLLyxxxdd4Dyxdd.21例2解DyxyPxQQdyPdxddLDyxdd)01(9.)0,1()0,1(1,2的一段到从是上半圆周计算BAxyLxydyxdxIL).(如图使之封闭加水平直线BADyxyd)d0(0sin100dd.32例3解xyO)0,1(A)0,1(BDLdyxyxdxIBABALxydyxdxxydyxdxDyxyPxQQdyPdxddL.11,0,:变从xyxxBA11xdx10.)2,3(),0,3(),0,0(,d)2(d)(正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算LyyxxyxLxy)0,0()2,3()0,3(D根据格林公式所围区域为设,DLDyxdd3.9课堂练习解DyxyPxQQdyPdxddL(1)P202公式格林公式Lyyxxyxd)2(d)(Dyxdd)1(211OBBABAOBL原式.)0,0()1,1()sin(222的一段弧到上由点物线为抛其中求OAyxLydyxdxxxyL解xyL)1,1(A)0,0(OD)0,1(B).(,如图所围区域为使之封闭和垂直直线加水平直线DBAOBDdxdyxyxy)22(1021021cos0yx.1cos21.10,0,:变到从xyxxOB.10,,1:变到从yyyxBAdxx10)sin(10ydy课堂练习.,直的直线加辅助线常选水平和垂为计算上简便12(3)计算曲线L所围区域D内有奇点的曲线积分.,,,dd22方向逆时针闭曲线滑且不经过原点的连续分段光为一条无重点其中　计算LyxxyyxL.),(,),(2222yxxyxQyxyyxP.可以用格林公式.)0,0(,)0,0()(22222是奇点称处不连续在xQyxxyyP例4解DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22xyOLD.0,,,)0,0()1(上连续在时当DyPxQD.DL所围成的平面区域为设(∵满足P202定理1的条件)13xyOLD,)0,0()2(时当D.).(:1222DlLryxlD为共同围成的复连通区域与设如图方向逆时针内作小圆周在l1D.)1202(的条件定理不满足上不能用格林公式PD.1上能用格林公式DlLyQxPdd,0ddddlLyQxPyQxPlLyQxPyQxPdddd,,1上连续在复连通域DyPxQlQdyPdx曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周l上的积分.),(,有奇点上不连续在DyPxQ1,0)(DdxdyyPxQ.ddddlLyQxPyQxP14Lyxxyyx22ddlyxxyyx22dd.20,sin,cos:变到从ttrytrxl2022222sincostdrtrtr.π220td则公式的条件而直接使用格林定理若不注意是否满足时当奇点,1202,)0,0(PDDLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22xyOLD222:ryxl1D曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周l上的积分..0为错误结果yPxQ15.,2)1(,)(2dd2222的方向逆时针周为圆其中求LyxLyxyxxyL.)(2),(,)(2),(2222yxxyxQyxyyxP课堂练习P214.3解.DL所围区域为设).1202(条件定理见上不能用格林公式PD).(:222如图方向逆时针内作小圆周在ryxlD10820522)(2dd第用行的方法得PLyxyxxy)()(2dd22小圆lyxyxxy20222222cossintdrtrtr.πlxyLDO.20,sin,cos:变到从ttrytrxl.)0,0(,)(222222是奇点内不连续在DxQyxyxyP曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周l上的积分.16作业:P2007(1)(2).P2131(1),2(1),3,5.本周五上习题课17.),(),(21一段到上从是垂直直线设解yayaaxL.0),(:,:1.200LdxyxPaxxoyLP证明上的一段面内直线为设题.,,:,21yyyyyaxL变到从则看成参数方程21),(),(yyLdayaPdxyxP,是水平直线时LLPdxL;0,,是垂直直线时一般.00),(21yyydyaP.0LdyQ下面内容中反复用到这一结论.18若条曲线的任意两到点内从点是点内任意两为平面开区域　　设,,21BAGL、LGBA、.,,21否则便说与路径有关无关内与路径则称该曲线积分在GQdyPdxQdyPdxLLGAB1L2L二、平面曲线积分与路径无关的条件19GAB1L.21内任意一条闭曲线是显然GLL,21LLQdyPdxQdyPdx即.”“”“是等价的的曲线积分都为零任意一条闭曲线内沿与内与路径无关曲线积分在故LGG,21LLQdyPdxQdyPdx即,021LLQdyPdxQdyPdx即,021LLQdyPdx即,内与路径无关曲线积分在G2L2L20,,内都在围成的区域所线内任取一条闭曲在GDCCG.)(dd,),(),,(2内恒成立在的充分必要条件是为零分内任意闭曲线的曲线积或沿内与路径无关在则曲线积分有一阶连续偏导数内具在单连通域函数若定理GxQyPGGyQxPGyxQyxPL证充分性.,是单连通域G,xQyP又因为根据格林公式有.0)(ddDCdxdyyPxQyQxP必要性(反证法),G000MMyPxQM使假设.00MyPxQ不妨设,0连续在点又由条件可知MyPxQ,0连续在点又由条件知MyP、xQ21.)(lim00MMMyPxQyPxQ由连续定义知,),(,0,20时当对GMUP.2),(0yPxQMU上恒有即,2)(yPxQ有,22yPxQ有UyxyPxQyQxPdd)(dd格林公式.02,),(0的正向边界曲线是设MU.分都为零矛盾内任意闭曲线的曲线积这与沿G.),(0的面积是MUUdxdy2二重积分的性质22例5LyxxxyL.0dd22闭曲线，证明是任意一条分段光滑的设证,,22xQxyP令,2xyPxQ.0dd22Lyxxxy.无关面上该曲线积分与路径xoy23.2πsin)1,1()0,0(,dd22xyAOLyxxxyL的曲线弧到为从其中计算,2yPxxQ.面内该积分与路径无关xoy例6解OBLyxxxyyQxPdd2dd2BAyxxxydd22,2面内连续在并且xoyxxQyP)0,0(O)1,1(Axy)0,1(BBAOBPdyxxxy22001d2题第10d0x.110d1y.)1,1()0,1()0,0(的折线积分再到到改路径沿从ABO.10,0,:变到从xyxxOB.10,,1:变到从yyyxBA24课堂练习25BOABydyxdxxxyydyxdxxxy2222)sin()sin(原式.)0,0()1,1()sin(222的一段弧到上由点为抛物线其中求OAyxLydyxdxxxyL练习解xyL)1,1(A)0,0(OD)0,1(B.1cos21.01,0,:变到从xyxxOB.01,,1:变到从yyyxABdxx01)sin(01ydy,2面上连续在xoyxyxQyP.面内该积分与路径无关xoy.)0,0