中考数学总复习-尺规作图

第二部分空间与代数第七章尺规作图及图形变换第27讲尺规作图高分突破在手中考高分无忧⊙考纲要求⊙1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.3.了解如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.4.了解尺规作图的步骤(不要求作法).⊙命题趋势⊙2010～2013年广东省中考题型及分值统计★中考导航★年份试题类型知识点分值20102011解答题坐标系中画圆6分2012解答题作角的平分线6分2013解答题作一条线段等于已知线段5分1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，尺规作图是必考内容，本讲内容命题难度适中，考查的重点是作角的平分线，作线段垂线或垂直平分线，作线段的中线，旋转、平移和对称作图.2．题型以解答题为主．3.2014年考查重点可能是作角的平分线，作线段的垂直平分线，作三角形和圆，旋转、平移和对称作图.★课前预习★1.如图，一张纸上有线段AB；请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线.（保留作图痕迹，不写作法和证明）2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）AB3.已知平面内两点A、B，请你用直尺和圆规求作一个圆，使它经过A、B两点．（不写作法，保留作图痕迹）4.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切.5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(3,5),(4,3)AB，C(1,1).作出△ABC关于x轴对称的△222ABC，并写出点2C的坐标.★考点梳理★1.作一条线段等于已知线段作法：①作射线AB；②在射线AB上截取AC＝a，则线段AC就是所求作的线段，如图所示.作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础，利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段.2.作一个角等于已知角作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；④以C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角，如图所示.3.作一个角的平分线作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于1/2DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线，如图所示.相信自己一定行4.作线段的垂直平分线作法：①分别以点A和B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示.5.过定点作已知直线的垂线，不论点在已知直线上，还是在已知直线外，都可以利用线段垂直平分线的作法作出.6.过定点作已知直线的中线，可以利用线段垂直平分线的作法作出.考点1.基本作图(2007～2009、2012、2013年考)1.（2013乐山）如图，已知线段AB．（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M，N（线段AB的上方）．连结AM，AN，BM，BN．求证：∠MAN=∠MBN．★课堂精讲★思路点拨：（1）根据线段垂直平分线的方法作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=BN，再根据等边对等角可得∠MAB=∠MBA，∠NAB=∠NBA，进而可得∠MAN=∠MBN．1.（1）解：如图所示：（2）证明：∵l是AB垂直平分线，∴AM=BM，AN=BN，∴∠MAB=∠MBA，∠NAB=∠NBA，∴∠MAB-∠NAB=∠MBA-∠NBA，即：∠MAN=∠MBN．2.（2013山西）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．思路点拨：（1）根据题意画出图形即可；（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．2.解：（1）如图所示；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，由作p可得∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC，∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CEB中,BECAEFCEAECFAE∴△AEF≌△CEB（ASA）．∴AF=BC．考点2.利用基本作图作三角形3.如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π．思路点拨：（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B；（2）利用△ABC的外接圆的面积为S圆，根据直角三角形外接圆的性质得出AC为外接圆直径，求出的比值即可．3.解：（1）如图所示：（2）∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆=π×（）2=π，△ABC的面积S△ABC=×3a×4a=6a2，∴==π＞π．考点3.利用基本作图作圆4.用直尺和圆规作（1）△ABC的外接圆；（2）△EFG的内切圆．思路点拨：此题考查了三角形外接圆和内切圆的作法．第（1）题：由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心；以此圆心作圆，即得出△ABC的外接圆．第（2）题：圆心到各边的距离相等所以要作各角的角平分线的交点，交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．4.(1)(2)考点4.旋转作图和对称作图5.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－6，1），点B的坐标为（-3，1），点C的坐标为（-3，3）．（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标；（2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．AxyBC11-1O思路点拨：本题考查的是平移作图与旋转作图，两者关键都是找对应点．第（1）题：将三角形三点分别沿x轴向右移动5个单位得到它们的对应点，顺次连接即可；第（2）题：将A、C两点绕B顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接各对应点，即可得Rt△A2B2C2．5.（1）从图中可以看出点A1（2）的坐标为（-1，1），．1.（2013广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．1.（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠CEF，∵在△ADF和△ECF中，CEADCEFDAFCFEDFA∴△ADF≌△ECF（AAS）．★随堂检测★2.（1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵FC平分∠ACB，∴OB=OE，∴AC是所作⊙O的切线；（3）解：∵sinA=21，∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ACB=∠OCB=21ACB=30°，∵BC=3，∴AC=23，BO=tan30°BC=33×3=1，∴△AOC的面积为：21×AC×OE=21×23×1=3．2.（2013黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：AC是所作⊙O的切线；（3）若BC=3，sinA=21，求△AOC的面积．3.（2013鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B.（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）3.解：如图所示：．4.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．4.如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．判断结果：BC是⊙O的切线．连结OD．∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C∵∠C=90º∴∠ODB=90º即：OD⊥BC∵OD是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线．5.如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．6.△ABC在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位．（1）△A1B1C1与△ABC关于纵轴（y轴）对称，请你在图中画出△A1B1C1；（2）将△ABC向下平移8个单位后得到△A2B2C2，请你在图中画出△A2B2C2．