一、数列极限的定义

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、数列极限的定义二、收敛数列的性质§1.2数列的极限上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、数列极限的定义引例如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n1,.21,32,43,,1nn;{n21}21,41,81,,n21,;上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyx1x5x4x3x2xn数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.•数列的几何意义数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数xn=f(n),nN.•数列与函数数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义axnn=lim.11lim=nnn,11lim=nnn,021lim=nn,021lim=nn,1)1(lim1=--nnnn.1)1(lim1=--nnnn.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.•分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数列极限的精确定义设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数e,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xn-a|e都成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,•极限定义的简记形式axnn=lim或xna(n).或说数列{xn}是发散的,习惯上也说nnxlim不存在.e0,NN,当nN时,有|xn-a|e.axnn=lim上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyaa-eae()数列极限的几何意义axnn=lime0,NN,当nN时,有|xn-a|e.•存在NN,当nN时,点xn一般落在邻域(a-e,ae)外•当nN时,点xn全都落在邻域(a-e,ae)内任意给定a的e邻域(a-e,ae),上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology分析:要使,e=-nnnn41)12(21|231213|只须,即.en41e41n231213lim=nnn例1证明axnn=lime0,NN,当nN时,有|xn-a|e.证明:因为e0,,当nN时,有]41[e=Ne-|231213|nn所以.231213lim=nnn上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology分析:证明axnn=lime0,NN,当nN时,有|xn-a|e.例21lim22=nann证明要使,e=-=-nanannannannan22222222)(|1|只须.e2an因为e0,,当nN时,有][2eaN=e-|1|22nan所以.1lim22=nann上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology分析:例3设|q|1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.对于e0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1e,只要nlog|q|e1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1e,当nN时,有因为e0,证明N=[log|q|e1]N,axnn=lime0,NN,当nN时,有|xn-a|e.所以0lim1=-nnq.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology对于某一正数e0,如果存在正整数N,使得当nN时,有|xn-a|e0.是否有xna(n).•讨论axnn=lime0,NN,当nN时,有|xn-a|e.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.按极限的定义,对于2ab-=e0,存在充分大的正整数N,使当nN时,同时有|xn-a|2ab-=e及|xn-b|2ab-=e,因此同时有2abxn及2abxn,这是不可能的.所以只能有a=b.证明证明假设同时有axnn=lim及bxnn=lim,且ab.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology注如果M0,使对nN,有|xn|M,则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的.二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology1.如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2.数列1,-1,1,-1,,(-1)N1,的有界性与收敛如何？•讨论二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.定理3(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0),那么存在正整数N,当nN时,有xn0(或xn0).•推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0),且数列{xn}收敛于a,那么a0(或a0).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology注:在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.例如,数列{xn}1,-1,1,-1,,(-1)n1的一个子数列为{x2n}-1,-1,-1,,(-1)2n1.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology1.数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2.数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3.发散的数列的子数列都发散吗？4.如何判断数列1,-1,1,-1,,(-1)N1,是发散的？定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.•讨论上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology总结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.