两条直线平行与垂直的判定

1.直线的倾斜角:2.直线的斜率:tan,k3.)(21211212xxyykxxyyk或直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.经过两点的直线的斜率公式为：)x)(xy,(xP),y,(xP21222111000180直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．)90(在平面直角坐标系下，倾斜角可以表示直线的倾斜程度，斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜程度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位置关系?在初中我们已经知道在平面内两条不重合直线的位置关系有两种？平行和相交，在相交中一种特殊的位置关系——垂直利用平面几何知识我们知道两直线平行同位角相等，同位角相等，两直线平行。探究1.21//ll当时，与满足什么关系？1k2k设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.21kk21tantan21根据两直线平行同位角相等，有即所以反之，当时，是否一定有？21kk21//ll即：21//ll21kk不一定，与还可能重合.1l2l①设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.是所有直线都有斜率吗21kk重合与或2121//llll那么：L1∥L2k1=k2②设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2则有我们约定：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，一般是指两条不重合的直线。③设两条不重合直线l1、l2的斜率都不存在.则两条直线平行判断直线平行的方法？判断下列说法是否正确：(1)若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行.(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等.(3)若两条直线平行且倾斜角不是直角,则它们的斜率一定相等.(4)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它们互相平行.√××√例题讲解例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。OxyABPQ301:2(4)22111(3)2BAPQkk解BAPQkkBAPQ∥例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。OxyDCAB23232121:DABCCDABkkkk解.,,是平行四边形因此四边形ABCDBCDACDABkkkkDABCCDAB∥∥法二：利用向量判断！)1,2(AB)1,2(DCDCAB即有所以所以,四边形ABCD是平行四边形.AB//DC探究2．我们通过直线的斜率研究了直线的平行，那么我们能否利用直线的斜率判定直线的垂直呢？1l2l1k2k设两直线与的斜率分别为和21ll当时，与满足什么关系？1k2k2l21ll1l1k2k如图设两直线与的斜率分别为和且有，10290)90tan(tan102121kk1tan1则所以所以21反之，当时，垂直吗？121kk21ll与21=90+2121-1llkk即121kk121kk211tantan1tan90+o2190o21ll学.科.网若与的斜率分别为，则有1l2l12121kkll1k2k和两条直线互相垂直，它们的斜率之积等于－１分析：错误.有可能直线的斜率不存在.若与的斜率分别为，则有1l2l12121kkll斜率都存在1k2k和注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．特殊情况下的两直线平行与垂直：当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0°两直线互相垂直如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有l1⊥l2k1k2=-1.判断下列说法是否正确：(2)若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1.(3)若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零,它们的位置关系也是垂直.(1)若两条直线的斜率之积为-1,这两条直线一定垂直.小结：两条不重合直线的平行与垂直:1212//.llkk(1)当两条直线中有一条直线斜率不存在时：i)当且仅当另一条直线的斜率也不存在，两直线互相平行；ii)当且仅当另一条直线的斜率为0时，则两直线互相垂直．(2)当两条直线的斜率都存在时：12121llkk例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。例题讲解632:3(6)3633602ABPQkk解-1ABPQkkBAPQ例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。OxyACB.901212132151)1(1:0是直角三角形因此即解ABCABCBCABkkkkBCABBCAB１．直线平行的判定,两直线与的斜率分别为1k2k则有1l2l２．直线垂直的判定与的斜率都存在，那么1l2l21ll121kk21kk重合与或2121//llll3.注意斜率不存在的情况.练习：课本89页1,2课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式2】(2012·杭州师大高一检测)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解由斜率公式可得kAB＝6－－46－－2＝54，kBC＝6－66－0＝0，kAC＝6－－40－－2＝5.由kBC＝0知，直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1，即k1×54＝－1，k2×5＝－1，解得k1＝－45，k2＝－15.综上可知BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直线的斜率为－45；AC边上的高所在直线的斜率为－15.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练误区警示忽略对字母参数的分类讨论致误【示例】已知直线m1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线m2经过点M(3，a)，N(6,5)，若m1⊥m2，求a的值．[错解]m1⊥m2⇔k1·k2＝－1，k1＝3－aa－5，k2＝a－5－3，即3－aa－5·a－5－3＝－1，所以a＝0.错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关系的前提条件：两条直线的斜率存在．应对直线AB斜率是否存在进行分类讨论，即分a－2＝3与a－2≠3两种情况讨论．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[正解]由题意可知直线m2的斜率一定存在，直线m1的斜率则可能不存在．(1)当直线m1的斜率不存在时，a＝5，此时直线m2的斜率k2＝0，所以两直线垂直．(2)当直线m1的斜率存在时，m1⊥m2⇔k1·k2＝－1，即3－aa－5·a－5－3＝－1，解得a＝0.所以m1⊥m2时，a的值为0或5.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练活页规范训练课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值是()．A．－B．－C.D.解析由于直线l与经过点(－2,1)且斜率为－的直线垂直，可知a－2≠－a－2.∵kl＝=－，∴－·（－）＝－1，∴a＝－.答案A323223322332)2(2)1(1aaa1a13232课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练4．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过A(－2，－1)，B(3,4)，则l1与l2的位置关系为________．解析∵直线l1的倾斜角为45°，∴k1＝1.又∵直线l2过A(－2，－1)，B(3,4)，∴k2＝＝1.∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合．答案平行或重合)2(3)1(4课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练5．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是________．解析∵l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，不妨设斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.答案垂直课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练6．(2012·威海高一检测)已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，过求点D的坐标．解设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kAD＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以kAB·kCD＝－1，kAD＝kBC，所以，解得，即D(10，－6)．132302432xy41xy321141xyxy610yx课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练7．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()．A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)解析设P(0，y)，∴k2＝y－1，∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D.答案D课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()．A．135°B．45°C．30°D．60°解析由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝＝－1，∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45°.答案Babba11课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练11．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．解设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，k1不存在，a－2＝3，则a＝5；当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.323aa2132a课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练12．(创新拓展)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；解(1)设D(a，b)，由▱ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即,解得,∴D(－1,6)．530412341520abab61ba课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练12．(创新拓展)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(2)试判定▱ABCD是否为菱形？∴D(－1,6)．(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．13245106