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16.4角的平分线一、教学目标1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力。2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。3.渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性。体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题。二、教学重点和难点1.重点：（1）角平分线的性质和判定。（2）点到角的边的距离要强调垂直关系。2.难点：（1）分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式。（2）把角平分线看作点的集合。三、教学方法引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。四、教学手段利用投影仪、教具（等腰三角形纸片）使教学反馈速度快、直观。五、教学过程（一）复习提问1.角平分线的概念，角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。2.点到直线（或射线）距离的意义。（二）引入新课第一册已经介绍过角的平分线的概念，那么它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分线？同学们首先看（教具）。（1）有一张剪好的纸片，怎样找这个角的平分线？（引导学生回答）。（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图3－48。如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图3－49中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对。由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其它的性质，这节我们就来研究这个问题。（三）讲解新课定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。要向学生讲明，证明这个定理，首先要分清题设和结论，既为写已知、求证做准备，又为引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础，然后把条件和结论具体化，符号化，写出已知、求证和证明。题设：一个点在一个角的平分线上。结论：它到角的两边的距离相等。已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥⊥OB，垂足分别是D、E，（如图3－50）求证：PD＝PE。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）。在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO（已知），∠AOC＝∠BOC（已知），OP＝OP（公共边），∴△PDO≌△PEO（AAS）。∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）。定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有三个，角的平分线，点在该平分线上，垂直距离。作用是证明线段相等。如图3－51，填写使BC＝BD成立所需的条件：，BC＝BD。猜想图3－51中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC＝BD，可以得到什么结论？用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。引导学生分析条件、结论，画出图形，写出已知、求证和证明。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD＝PE，如图3－52。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：经过点P作射线OC。∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）。在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP＝OP（公共边），PD＝PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）。∴OC是∠AOB的平分线。想一想：在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相等”的点吗？为什么？在角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？由定理1、2可知，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离相等。于是得到下面的结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。此结论为以后研究轨迹打下基础。例：已知：如图3－53，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，B、D为垂足，线段AC平分∠C，求证：BC＝DC。分析：要证BC＝DC，须证点C在∠A平分线上，须证∠1＝∠2，即证90°－∠3＝90°－∠4，这由已知条件线段AC平分∠C便可得证（利用投影仪）。小结：（1）定理1是角平分线的性质定理，只要证出一射线是某角的平分线，就可知道它上面的点到角的两边距离相等，利用它可以证明线段相等；定理2是角平分线的判定定理，只要证出一个点到角的两边距离相等，就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线，利用它可以证明角相等。（2）用这两个定理，一定具备两个垂直距离（即点到直线的距离）。证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样作实际是重新证了一次定理）。（四）作业；情，同时也传达了单位对支持花开啤酒经销商、各界领导和朋友的感激之情和热切的期望。不一会儿，单位接待经销商的豪华大巴陆续到场了，大厅里渐渐地热闹起来了，大家相互打招呼问侯，整个大厅充满了热情欢快的笑语声。上午10点，大会准时开始，首先由江苏花开啤酒单位董事长、总经理赵树春发表简短贺辞，然后是销售商代表发言，紧接着赵树春亲自为销量前十名的销售商颁奖，酒宴和歌舞节目同时开始。只听见台上男节目主持人用激昂的声音讲道：“在这不平凡的一年里，我们战胜了‘非典’，在2004年，我们力争达到销售花开啤酒9万吨。”女节目主持人接道：“展望2004年，我们充满了信心。下面，请欣赏歌伴舞《花开啤酒，今天是个好日子》”大厅中充满了甜美的歌声和欢快的舞蹈：唉——开心的锣鼓敲出年年的喜庆好看的舞蹈送来天一原欢腾阳光的油彩涂红了今天的日子哟生活的花朵是我们的笑容唉——今天是个好日子心想的事儿都能成明天是个好日子打开了家门咱迎春风……在歌舞声中，赵树春携全体高层领导一桌一桌给大家敬酒，与每一位经销商、业务员碰杯、祝福。最热闹的高潮是抽奖环节，由工作人员把每个经销商的编号放进抽奖箱，然后由海涛州质量技术监督局、泰港区以及花开啤酒领导来依次抽奖。抽奖时整个会场一会儿鸦雀无声，一会儿欢笑声、欢呼声响彻整个大厅，被抽到的经销商个个欣喜若狂，没有被抽到的经销商也个个欢呼鼓掌。快乐就是最好的奖品，大家就图个参与、图个气氛、图个热闹。一位抽到真丝软缎绣花被子的南京经销商领奖时带着戏谑的表情说道：“花开啤酒是用柔软的太空棉被给我加包袱呀，我想今年无论如何也要干到6000吨，不然怎么对得起赵总呢？”大家哄堂大笑。此刻，《鹰》的主题曲在大厅里回荡：雄鹰飞吧飞吧，飞向高空中。雄鹰唱吧唱吧，歌声回响在蓝天。飞翔吧，歌唱吧。飞翔吧，歌唱吧。雄鹰快快飞，飞向高空中。雄鹰飞了飞了，飞到高空中。唱着愉快的歌儿，歌声回响在蓝天。多自由，多快活。多自由，多快活。唱着愉快的歌，飞舞在蓝天……8.10P花开啤酒作为今年刚开发出来的新品种，不管是从口味上还是从商标设计上都深深地吸引了经销商，而且8.10P的花开啤酒名字还有来头，确实是费了一番不小的脑筋。至于详细情况还得表一表，借此使读者了解一下啤酒开发过程中所历经的沟沟坎坎。刚开始开发这个产品时，单位要求开发出来的产品要与众不同，不仅从啤酒口感风味上要体现出来，外包装也要推陈出新。作为新品研发小组组长的马启明在苦苦思索，当时市场上大部分是80P啤酒，从名字上能不能动动歪脑筋。因为在江苏及其周边，其它单位是以80P淡爽啤酒为主，能不能定为8.10P？虽然只是浓度