2015年西南交通大学《大学物理-AI》作业-No.07-电势

©西南交大物理系_2015_02《大学物理AI》作业No.07电势一、判断题：（用“T”和“F”表示）[F]1．电场强度为零的空间点电势一定为零。解：电场强度为电势梯度的负值。场强为0，只能说明电势在这区域的空间变化率为0，即是等势区。[T]2．负电荷沿电场线运动时，电场力做负功。解：沿着电场线的方向，电势降低，对于负电荷而言，电势能升高，而静电力做功等于电势能增量的负值，所以电场力做功为负。[F]3．静电场中某点电势的数值等于单位试验电荷置于该点时具有的电势能。解：应该是：静电场中某点电势的数值等于单位试验正电荷置于该点时具有的电势能。[F]4．静电场中电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。解：与电势零点的选择也有关系。[T]5．电场线稀疏的地方，表明电场小。解：场线的疏密可以反映场强的大小。稀疏的地方电场小，密集的地方电场大。二、选择题：rP＇qRP1．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为[B](A)rq04επ(B)⎟⎠⎞⎜⎝⎛−πRrq1140ε(C)()Rrq−π04ε(D)⎟⎠⎞⎜⎝⎛−πrRq1140ε解：由电势定义式有P'点的电势⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π==⋅=∫∫′RrqrrqrEURrPP114d4d020επεKK选B2．如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为r处的P点的电势U为：[C](A)rQQ21041+πε(B))(4122110RQRQ+πε(C))(412210RQrQ+πε(D))(412110rQRQ+πε解：根据均匀带电球面在其内外产生的电势为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧πε=≥πε=≤rQU,RrRQU,Rr0044外内，由题意，场点在Q1的外部，而在Q2的内部，所以选C。3．真空中有一点电荷Q，在与它相距为r的a点处有一试验电荷q。现使试验电荷q从a点沿半圆弧轨道运动到b点，如图所示。则电场力对q作功为OrarbQ[D](A)24220rrQqπ⋅πε(B)rrQq2420επ(C)rrQqππ204ε(D)0解：因电场力是保守力，做功与路径无关。根据功的定义，试验电荷q从a点沿半圆弧轨道运动到b点电场力的功0)(dd=−=⋅=⋅=∫∫∩baababUUqlEqlFAGGGG，因a、b两点电势相等选DBEGAq−lGdFG4．在均匀电场中，将一负电荷从A点移到B点，如图所示。则：[D](A)电场力作正功，负电荷的电势能减少(B)电场力作正功，负电荷的电势能增加(C)电场力作负功，负电荷的电势能减少(D)电场力作负功，负电荷的电势能增加解：因电场力是保守力，做功与路径无关。根据功的定义，电场力的功0dd⋅−=⋅=∫∫lEqlFABABAGGGG，电场力做负功由电场强度与电势的关系知：,电势能选DBAUUBAWWqUW−=所以,5．如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为：[B](A)，0=ErQU041πε=(B)0=E，RQU041πε=(C)2041rQEπε=，rQU041πε=(D)2041rQEπε=，RQU041πε=解：均匀带电球面在其内部的电场分布为：RrE=，0；电势分布为：RrRQU=,410πε，所以选B。三、填空题:1．一半径为R的绝缘实心球体，非均匀带电，电荷体密度为ρ＝ρ0r(r为离球心的距离，ρ0为常量)。设无限远处为电势零点。则球外(r＞R)各点的电势分布为U＝rR0404ερ。rrdRPOPr解：在非均匀带电绝缘实心球体内作一半径为r厚度为dr的同心薄球壳，如图所示，则由均匀带电球面外电势分布有：P点电势pRpRpPrRrrrrrqU04000200044d44dερ=πεπ⋅ρ=πε=∫∫abc2．静电场中有一质子(带电荷e＝1.6×10-19)沿图示路径从a点经c点移动到b点时，电场力作功8×10-15J。则当质子从b点沿另一路径回到a点过程中，电场力作功A＝________________；若设a点电势为零，则b点电势Ub＝_________。解：因电场力作功与路径无关，故质子从b点沿另一路径回到a点过程中，电场力作功A＝J108dd15−×−=⋅−=⋅∫∫acbbalEelEeKKKK由静电场中某点电势定义有b点电势Ub＝V10051061108dd41915×−=××−=⋅=⋅−−∫∫..elEelEababKKKKRQO3．真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势U＝___________________，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做功A＝________________________________。qd解：选无穷远处为电势零点，则由点电荷电势和电势叠加原理有O点电势RQqRRqUQQO000004d414dπεπεπε===∫∫带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做功RqQRQqUUqAO004)40()(πεπε−=−=−=∞4.图中所示为静电场的等势(位)线图，已知U1U2U3，在图上画出a、b两点的电场强度的方向，并比较它们的大小，Ea＝Eb(填、=、)。解：等势面的疏密反映了场强的大小，从图上可以看出，这3个等势面间距是均匀的，说明各处电场大小相等，场强的方向总是指向电势降低的方向。b5.一质量为m、电量为q的小球，在电场力作用下，从电势为U的a点，移动到电势为零的b点。若已知小球在b点的速率为bv,则小球在a点的速率＝avmqUvb/22−。解：由质点的动能定理KEA∆=，222121)0(abmvmvUq−=−可得小球在a点的速率mqUvvba22−=。四、计算题:1．一“无限大”带负电荷的平面，电荷面密度为-σ（σ为一正的常数），若设平面所在处为电势零点，取x轴垂直带电平面，原点在带电平面处，求其周围空间各点电势U随距离平面的位置坐标x变化的函数关系，并画出函数关系曲线。解：此无限大带负电的平面在其两侧产生的是均匀电场：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧εσ=εσ−=002020E,xE,x根据电势的定义式子，场强积分法来算电势，选无限大带电平面为电势零点，沿x轴积分。⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧εσ−=εσ==εσ=εσ−==∫∫∫∫000000002d2d02d2d0xxxEU,xxxxEU,xxxxxxxEGaEG1U2U3UbaO2.图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为，外表面半径为。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。1R2R21R2RO解：在球层中取半径为r，厚为dr的同心薄球壳，带电量为：rrqd4d2πρ⋅=它在球心处产生的电势为000d4ddερπεrrrqU==整个带电球层在O点产生的电势为)(2dd2122000021RRrrUURR−===∫∫ερερ空腔内场强，是一等势区。0=EG所以，腔内任一点的电势为)(2212200RRUU−==ερ3．一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ=Ar(r≤R)，式中A为常量。试求：(1)圆柱体内、外各点场强大小分布；(2)选与圆柱轴线的距离为l(l＞R)处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。解：(1)取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)。面上各点场强大小为E并垂直于柱面，则穿过该柱面的电场强度通量为：∫π=⋅SrhESdE2KK为求高斯面内的电荷，r＜R时，取一半径为r′，厚dr′、高h的薄圆筒，其电荷为rdrAhVd′′π=ρ22则r＜R包围在高斯面内的总电荷为3232/Ahrrdrπ=′′20AhVdrVπ=ρ∫∫由高斯定理得()03322επ=π/AhrrhE解出(r≤R)(023ε=/ArE)20AhVdRVπ=ρ∫∫r＞R时，包围在高斯面内总电荷为：Rrhr3232/AhRrdrπ=′′由高斯定理()03322επ=π/AhRrhE解出(rR)(r/ARE033ε=)(2)由电势定义式计算电势分布r≤R时∫∫∫⋅ε+ε==lRRrlrrrdARrdrArdEU032033()RlARrRAln3903330ε+−ε=r＞R时rlARrrdARrdEUlrlrln330303ε=⋅ε==∫∫