勾股定理毕业论文

学科分类号（二级）110.17本科学生毕业论文（设计）题目包含任意整数的勾股数姓名洪鹏鲲学号094080350院、系数学学院专业数学与应用数学指导教师职称（学历）副教授（硕士）1包含任意整数的勾股数摘要：本文解决了求任意整数的勾股数，以勾股定理为出发点，利用初等数学知识，主要运用数学方法推理证明，利用计算机进行辅助求证.研究不定方程222xyz的一些性质，发现并证明了勾股数之间的一些规律.具体解决三个问题：一.已知数是直角边长时，求另两边长；二.已知数是斜边时，求两直角边长；三.求任意整数的勾股数及组数.关键词:勾股数；平方和；整数解1.前言勾股定理[1]是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠.是人类发现的第一个定理、第一个不定方程、证法第一多的定理.它引发了第一次数学危机，开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学.我们知道，勾股定理的代数关系式222abc，当已知直角三角形的任意两条边的长度时，根据这个关系式就可以很快而直接地求得这个直角三角形的第三条边的长度.而现在，假设已知直角三角形的一条边的长度且为整数，那么，另外两条边的长度都为整数的解能否求得？直观上看，答案可能有无数组解，因为一个方程中有两个未知数.但当我们求解时就会发现，答案并不是那样简单.虽然这里是一个不定方程两个未知数，但条件要求是整数解，这其实是特殊二元不定方程.本文就是以此为出发点，运用数学方法推理证明，最终就会发现：任意大于2的整数都可以作为整直角三角形的直角边长，而不一定能作为斜边长.给出一个数就可以求出包含它的所有勾股数.2.基本定理及性质2.1勾股定理勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方[1].若直角三角形两直角边分别记为a，b，斜边记为c，那么有222abc.其中a，b中的短边称为勾，长边称为股，c边称为弦.2.2勾股数满足不定方程222xyz的正整数叫做勾股数（商高数），也叫毕达哥拉斯数[2].其中x，y中的较小数称为勾数，较大数称为股数，z称为弦数.2.3整数集合N表示非负整数的集合（自然数集）.N或N表示正整数集合.aN表示元素a属于集合N.2.4整直角三角形2各边长都为整数的直角三角形.2.5完全平方公式及性质完全平方公式1：222()2abaabb.2.6奇偶数平方的性质奇数的平方是奇数：2222(21)4412(22)1mkkkkk.偶数的平方是偶数：2222(2)42(2)mkkk.2.7素三元组无公约数的商高数称为本原商高数（素三元组）[1].即若(,,)abc是勾股数且有(,,)1abc（表示,,abc的最大公约数是1，即,,abc两两互质），则(,,)abc是素三元组.本原商高数,,abc中的一条“直角边”（勾或股）的长度应当是偶数，而另一条长度必是奇数，即一奇一偶.2.8勾股数的规律1毕达哥拉斯三元组(,,)abc有222abc，则(,,)kakbkc（其中k是任意正整数）也是一组勾股数[1].证明并不难，只要带入验证即可.反过来，如果某三元组(,,)abc有一个共同的公约数p，那么用这个公约数p去除他们，又可得到一组勾股数(,,)abcppp.2.9常见勾股数3,4,5:勾三股四弦五[3].5,12,13:5·12记一生（13）.6,8,10：连续的偶数.8，15，17：八月十五在一起（17）.2.10特殊的勾股数连续的勾股数只有3,4,5[4].连续的偶数勾股数只有6,8,10.2.11奇妙的勾股数如果a，b，c是一组勾股数，则a，b，c中必有一个是3的倍数[5].如果a，b，c是一组勾股数，则a，b中必有一个是4的倍数.2.12勾股数中的任意一个数都大于2任意一组勾股数中的三个数互不相同，明显弦数一定大于2，那么只需考虑3勾数就可以，即证明方程222ayz(1,2)a无正整数解.当1a时，即221yz，此时有()()1zyzy，因y，z都是正整数，且由题可知yz，所以有1zy且1zy，所以()()1zyzy，所以221yz无正整数解.当2a时，即224yz，有()()4zyzy，因1zy且2zy，所以224yz无正整数解.因此，本文中提到的勾股数的任意数a，以及所求方程的解中的数，都是大于2的整数.3.包含任意整数的勾股数求解包含任意整数a的勾股数，从直观上考虑，可以分成两种情况：一、已知数作为直角边长时，求另一直角边长和斜边长；二、已知数作为斜边长时，求两直角边的长.3.1知勾股求弦长有一整直角三角形，若a作为一条直角边边长，求另外两条边的长度.即求解方程222ayz(2,)aaN的正整数解(,)yz.例如求解方程22215yz的正整数解.此问题可分步骤解决，先证明方程有解，再求出具体解.3.1.1方程222ayz有正整数解.观察方程，可以变换方程为222azy，联想到224()()xyxyxy则若amn()mn时（这是很明显成立的，至少有1,nma时成立）有2222222()()()22mnmnmn.即amn，222mny，222mnz.讨论：⑴.若,mn同为奇数或同为偶数，则222mn，222mn都为整数，满足解的条件.例1.若1553a，5m，3n，222mny25928，222mnz259217.4满足22215817，即22564289.例2.若2464a，6m，4n，222mny3616210，z222mn3616226.满足222241026即576100676.⑵.若,mn为一奇一偶，则222mn，222mn都为分母是2的分数且不能化为整数，例3.若1052a，5m，2n.222122mny，222922mnz.虽然满足222ayz，但是这不是问题的解，这不是勾股数，此时a为偶数，则另有m，n使成立2amn()mn（这是明显成立的，至少有1,2anm）.2222222(2)()()mnmnmn即22ymn，22zmn.此时y，z就为正整数，满足方程也满足勾股数，是问题的解.例4.若232a，3m，2n，22945ymn，229413zmn.满足22251213即25144169.由以上讨论和分析可知方程222ayz(2,)aaN的正整数解存在且有如下结论：定理1.任意大于2的整数都可以作为勾股数中的勾或股（即存在任意大于2的整数为直角边边长的整直角三角形）.3.1.2方程222ayz的解由方程222ayz有整数解的证明过程，可以归纳总结出此方程的解.3.1.2.1.若a是奇数，将2222222()()()22mnmnmn中的,mn分别用k，ak替5代，则有222222222()()22aakkkka=42422222()()22kakakk.则2422akyk221[())]2akk，4222kazk221[())]2akk.若k是a的约数，则ak也是奇数，所以2k，22ak也是奇数，则222akk和222akk是偶数，所以y和z也都是整数，即(,)yz是原方程的解.只需要取ka即可，避免重复.例5.若15a作为直角边长时，有1k，3，5，15分别求得：(112,113)，(8,17)，(8,17)，(112,113)，只取1k，3，则得到的勾股数组为：(15,112,113)和(15,8,17)都是方程的解，但不是完全解.这是因为k的取值特殊.令2kt，则2422221()222akataytktt，4222221()222kataaztktt.若t是2a的约数，则t，2at都是奇数，则y和z也都是整数.其中ta，此时(,)yz是方程的解.那么若a是奇数，只有满足t是2a的约数且ta所得到的的解才是解吗？需要进一步证明，步骤如下：⑴.若2ta（t整除2a），因2a是奇数，所以t，2at都是奇数，所以22()att，那么21()2att是整数，所以是解.⑵.若tN且2ta宎，则2aNt，则2()atNt，所以22()att宎，所以无解.⑶.若t是不能化成整数的分数，用反证法，具体如下：假设存在t使21()2aytNt，变形有222tyta成立，那么622222tytyay即222()tyayN，所以tyN，又因yN，所以tN，这与题目中的条件“t是不能化成整数的分数”相矛盾，所以t是不能化成整数的分数时，无解.综上所述，若a是奇数，不定方程222ayz(2,)aaN的正整数解为：222atyt，222tazt（t是2a的约数，ta）.也就是说：若a是奇数，包含a且a作为勾或股的勾股数的组数为小于a中且是2a的约数的个数.例6.若15a作为直角边长时，有1t，3，5，9分别求得：(112,113)，(36,39)，(20,25)，(8,17)即得到勾股数组分别为：(15,112,113)，(15,36,39)，(15,20,25)，(15,8,17)是方程的完全解.3.1.2.2.若a是偶数，则可以有2,akk都为整数（其中k是2a的约数）.将2222222(2)()()mnmnmn中的,mn分别用k，2ak替代，则有2222222[()][()]22aaakkkk22222222()()44aakkkk.则24244akyk22()2akk（只需要取2ka，避免重复），24244akzk22()2akk.因为a是偶数，则2a是4的倍数，所以y和z也都是整数.由求奇数解的过程得经验，可以令2kt，则24222244444akataytktt，24222244444akataztktt.若t是24a的约数，则t，24at都是奇数，则y和z也都是整数.其中2at，所以(,)yz是方程的解.那么a是偶数时，只有满足t是24a的约数且2at所得到的才是方程的解吗？需要进一步证明，步骤如下：⑴.若24at（t整除24a），则2()4att是整数，所以是解.7⑵.若tN且24at宎，则24aNt，则2()4atNt，所以无解.⑶.若t是不能化成整数的分数，用反证法，具体如下：假设存在t使24aytNt，变形有2244tyta成立，那么222244tytyay即222(2)tyayN，则①.若y是偶数，因a是偶数，所以2ty也是偶数，则tN.与题设中的“t是不能化成整数的分数”相矛盾，所以t是不能化成整数的分数时，无解.②.若y是奇数，因a是偶数，则22ay也是奇数，所以2ty是奇数，又因y是奇数，所以2t是偶数，则tN.与题设中的“t是不能化成整数的分数”相矛盾，所以t是不能化成整数的分数时，无解.综上所述，若a是偶数，不定方程222ayz(2,)aaN的正整数解为：2244atyt，2244atzt（t是2a的约数，2at）.也就是说：若a是偶数，包含a且a作为勾或股的勾股数的组数为小于2a且是24a的约数的个数.例7.若24a，则1t，2，3，4，6，8，9，分别得到勾股数组(24,143,145)，(24,70,74)，(24,10,26)，(24,32,40)，(24,18,30)，(24,45,51)，(24,7,25)是方程的完全解.由以上推导，有：定理2.不定方程222ayz(2,)aaN的正整数解为：⑴.若a是奇数，则222atyt，222tazt（t是2a的约数，ta）.⑵.若a是偶数，则2244atyt，2244atzt（t是24a的约数，2at）.推论1:任意整数(2)aa，