第二章 推理与证明导学案

高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案1§2.1.1合情推理（1）学习目标1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P28~P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列na的第一项11a，且nnnaaa11(1,2,3...)n，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na}中，11()2nnnaaa（2n），试猜想这个数列的通项公式.2011年上学期◆高二月日班级：姓名：第二章推理与证明2※动手试试练1.应用归纳推理猜测11112222的结果.练2.在数列{na}中，11a，122nnnaaa（*nN）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※学习小结1．归纳推理的定义.2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数.后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,fnnnnN，下列说法中正确的是（）.A.()fn可以为偶数B.()fn一定为奇数C.()fn一定为质数D.()fn必为合数3.已知2()(1),(1)1()2fxfxffx*xN（），猜想(fx）的表达式为（）.A.4()22xfxB.2()1fxxC.1()1fxxD.2()21fxx4.111()1()23fnnNn，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222fffff猜测当2n时，有__________________________.5.从22211,2343,345675中得出的一般性结论是_____________.课后作业1.对于任意正整数n，猜想(21)n与2(1)n的大小关系.2.已知数列{na}的前n项和nS，123a，满足12(2)nnnSanS，计算1234,,,,SSSS并猜想nS的表达式.高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案3§2.1.1合情推理（2）学习目标1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P30~P38，找出疑惑之处）1.已知0(1,2,,)iain，考察下列式子：111()1iaa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa.我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不等式为.2.猜想数列1111,,,,13355779的通项公式是.二、新课导学※学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由到的推理.※典型例题例1类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)xy为圆心，r为半径的圆的方程为22200()()xxyyr例2类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1()2Sabcr（r为三角形内切圆的半径）新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.2011年上学期◆高二月日班级：姓名：第二章推理与证明4※动手试试练1.如图，若射线OM，ON上分别存在点12,MM与点12,NN，则三角形面积之比11221122OMNOMNSOMONSOMON.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点12,PP，点12,QQ和点12,RR，则类似的结论是什么？练2.在ABC中，不等式1119ABC成立；在四边形ABCD中，不等式1111162ABCD成立；在五边形ABCDE中，不等式11111253ABCDE成立.猜想，在n边形12nAAA中，有怎样的不等式成立？三、总结提升※学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※知识拓展试一试下列题目：1.南京∶江苏A.石家庄∶河北B.渤海∶中国C.泰州∶江苏D.秦岭∶淮河2.成功∶失败A.勤奋∶成功B.懒惰∶失败C.艰苦∶简陋D.简单∶复杂3.面条∶食物A.苹果∶水果B.手指∶身体C.菜肴∶萝卜D.食品∶巧克力学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33ab,则ab”类推出“若00ab,则ab”B.“若()abcacbc”类推出“()abcacbc”C.“若()abcacbc”类推出“ababccc（c≠0）”D.“nnaabn（b）”类推出“nnaabn（b）3.设)()(,sin)('010xfxfxxf，'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx，n∈N，则2007()fx（）.A.sinxB.－sinxC.cosxD.－cosx4.一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.5.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.课后作业1.在等差数列{}na中，若100a，则有*121219(19,)nnaaaaaannN成立，类比上述性质，在等比数列{}nb中，若91b，则存在怎样的等式？2.在各项为正的数列na中，数列的前n项和nS满足nnnaaS121（1）求321,,aaa；（2）由（1）猜想数列na的通项公式；（3）求nS高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案5§2.1.2演绎推理学习目标1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.学习过程一、课前准备（预习教材P39~P42，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.复习2：合情推理的结论.二、新课导学※学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C，所以在一个标准大气压下把水加热到100C时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sin是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么.新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电铜是金属铜能导电已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断大前提小前提结论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提——；小前提——；结论——.试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※典型例题例1在锐角三角形ABC中，,ADBCBEAC，D，E是垂足.求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2fxxx在,1上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例3下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形.（结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.2011年上学期◆高二月日班级：姓名：第二章推理与证明6※动手试试练1.用三段论证明：通项公式为(0)nnacqcq的数列{}na是等比数列.练2.在ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证ACDBCD.证明：在ABC中，,CDABACBC，所以ADBD，于是ACDBCD.指出上面证明过程中的错误.三、总结提升※学习小结1.合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2.演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.