2013年高考理科数学天津卷word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V＝Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·球的体积公式V＝34π3R.其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，理1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()．A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2]D．[－2,1]答案：D解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}．故选D.2．(2013天津，理2)设变量x，y满足约束条件360,20,30,xyxyy则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2答案：A解析：作约束条件360,20,30xyxyy所表示的可行区域，如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y＝2x，平移l0过点A(5,3)，此时z最小为－7，故选A.3．(2013天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为()．2A．64B．73C．512D．585答案：B解析：由程序框图，得x＝1时，S＝1；x＝2时，S＝9；x＝4时，S＝9＋64＝73，结束循环输出S的值为73，故选B.4．(2013天津，理4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切，其中真命题的序号是()．A．①②③B．①②C．①③D．②③答案：C解析：设球半径为R，缩小后半径为r，则r＝12R，而V＝34π3R，V′＝33344114πππ33283rRR，所以该球体积缩小到原来的18，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2＋y2＝12的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝1222，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.5．(2013天津，理5)已知双曲线2222=1xyab(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()．A．1B．32C．2D．3答案：C解析：设A点坐标为(x0，y0)，则由题意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝3.抛物线y2＝2px的准线为2px，3所以02px，代入双曲线的渐近线的方程byxa，得|y0|＝2bpa.由2222,,caabc得b＝3a，所以|y0|＝32p.所以S△AOB＝2334p，解得p＝2或p＝－2(舍去)．6．(2013天津，理6)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()．A．1010B．105C．31010D．55答案：C解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2292232＝5，即得AC＝5.由正弦定理sinsinACBCABCBAC，即53sin22BAC，所以sin∠BAC＝31010.7．(2013天津，理7)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()．A．1B．2C．3D．4答案：B解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝12x.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．8．(2013天津，理8)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A.若－12，12A，则实数a的取值范围是()．A．15,02B．13,02C．1513,00,22D．15,2答案：A解析：f(x)＝x(1＋a|x|)＝22,0,,0.axxxaxxx若不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且11,22A，4则在区间11,22上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下边．(1)当a＝0时，显然不符合条件．(2)当a＞0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．由图可知，当a＞0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a＞0不符合条件．(3)当a＜0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且11,22A，只需1122faf即可，则有2211112222aaaa(a＜0)，整理，得a2－a－1＜0，解得151522a.∵a＜0，∴a∈15,02.综上，可得a的取值范围是15,02.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013天津，理9)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝__________.答案：1＋2i解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得10,1,aab解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.510．(2013天津，理10)61xx的二项展开式中的常数项为__________．答案：15解析：二项展开式的通项为36621661C(1)CrrrrrrrTxxx，3602r得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝(－1)446C＝15.11．(2013天津，理11)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为π4,3，则|CP|＝__________.答案：23解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.12．(2013天津，理12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为__________．答案：12解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝12AB＋AD.所以AC·BE＝(AB＋AD)·12ABAD＝12|AB|2＋|AD|2＋12AB·AD＝12|AB|2＋14|AB|＋1＝1，解方程得|AB|＝12(舍去|AB|＝0)，所以线段AB的长为12.13．(2013天津，理13)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为__________．答案：83解析：∵AE为圆的切线，∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED.又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.∵∠EAB为弦切角，且AB＝AC，∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC，∴四边形EBCA为平行四边形．∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，∴45CFACBFBD.又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝83.614．(2013天津，理14)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝__________时，1||2||aab取得最小值．答案：－2解析：因为a＋b＝2，所以1＝1||22||abaab＝||||22||4||4||abaabaabaab≥||2+14||4||4||abaaaaba，当a＞0时，5+1=4||4aa，1||52||4aab；当a＜0时，3+1=4||4aa，1||32||4aab，当且仅当b＝2|a|时等号成立．因为b＞0，所以原式取最小值时b＝－2a.又a＋b＝2，所以a＝－2时，原式取得最小值．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(2013天津，理15)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝π2sin24x＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间π0,2上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝2sin2x·ππcos2cos2sin44x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝π22sin24x.所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间3π0,8上是增函数，在区间3ππ,82上是减函数．又f(0)＝－2，3π228f，π22f，故函数f(x)在区间π0,2上的最大值为22，最小值为－2.16．(2013天津，理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝1322252547CC+CC6C7.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝3347C1C35，7P(X＝2)＝3447C4C35，P(X＝3)＝3547C2C7，P(X＝4)＝3647C4C7.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．(2013天津，理17)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．解：(方法一)(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．易得11BC＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是11BC·CE＝0，所以B1C1⊥CE.(2)1BC＝(1，－2，－1